运筹学复习题Word文档格式.docx

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b

x1x2x3x4

x3

x4

9

8

3410

[5]201

3

8/5

cj-zj

10

x1

21/58/5

0[14/5]1-3/5

12/501/5

3/2

4

010-2

5

x2

1

015/14-3/14

10-1/72/7

00-5/14-25/14

所有非基变量的检验数全部小于零，所以此线性规划问题有唯一最优解。

最优解X=（1，3/2，0，0）；

最优值Z=35/2.

解题步骤

1.化为标准形

2.列表求解

Key：

寻找主元（检验数最大，检验比最小）

主元变为1，其余变为0.

3.结论（最优解和最优值）

练习题：

1.

2.

3.

4.

练习题答案

1.最优解X=（15/4,3/4,0,0），最优值maxz=33/4

2.最优解X=（2,6,2,0,0），最优值maxz=34

3.最优解X=（1,0,2,7,0,0），最优值maxz=12

4.最优解X=（1,2,0,0,0），最优值maxz=8

注意细节

1.右端项b用于计算检验比，只有系数大于0时才计算检验比；

价值系数cj用于计算检验数。

2.注意自我检查：

基变量一定对应到单位矩阵，其检验数一定等于0；

最优表给出对偶问题的最优解，对应的最优值等于原问题的最优值。

3.对矩阵的某行乘以一个较大的数，总能做到所有检验数小于0，所以不要随便通分，如练习4。

二、对偶问题及互补松弛性

例、给出线性规划问题：

要求：

（1）写出其对偶问题；

（2）已知原问题的最优解为X*=（2,2,4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

（1）对偶问题为

（2）将最优解（2,2,4,0）带入原问题的约束条件，

根据互补松弛性，

另一方面，因为，相应的对偶问题的约束条件应取等号。

所以

解得

从而，对偶问题的最优解为Y=（4/5,3/5,1,0）,

最优值为16

1.写出对偶问题的步骤

最大变最小；

系数矩阵转置；

≤变≥；

价值系数与右端项互换。

2.互补松弛性的应用

约束条件对应决策变量

第一步：

把最优解带入约束条件，约束条件取不等号，相应的决策变量等于零；

第二步：

最优解不为零，对应的约束条件取等号；

第三步：

解方程

1.已知线性规划

的最优解是X*=（6,2,0），

（1）写出原问题的对偶问题；

（2）根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。

2.已知线性规划

其对偶问题的最优解为Y*=（4,1），

（1）写出对偶问题；

（2）应用对偶问题的性质，求原问题的最优解。

3.已知线性规划

其最优解为X*=（4/5,3/5），

（2）应用对偶问题的性质，求对偶问题的最优解。

4.已知线性规划

其对偶问题的最优解为Y*=（1.2,0.2），

（2）应用对偶性质，求原问题的最优解

1.对偶问题最优解Y=（1,1），最优值为26

2.原问题的最优解X=（0,0,4,4），最优值为44

3.对偶问题的最优解Y=（1,0,0,0,1），最优值为5

4.原问题的最优解X=（0,0,4,4），最优值为28

写对偶问题时，不要忘了决策变量的非负约束；

注意计算最优值，自我检查最优解应满足所有的约束条件，且原问题的最优值应该等于对偶问题的最优值。

三、表上作业法求解运输问题

1、产销平衡问题

例下表为各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解。

销地产地

B1

B2

B3

B4

产量

A1

A2

A3

2

7

6

销量

20

先用沃格尔法求初始解

行罚数

3022

115

2244

列罚数

得初始调运方案：

下面用位势法进行检验：

ui

vi

所有检验数≥0，此时问题已达到最优解

总运费minz=5*1+3*4+6*1+2*0+3*5+1*1=39

1.先用沃格尔法或者最小元素法求出初始解

沃格尔法：

优先供应罚数大的运输任务

最小元素法：

优先考虑所有任务中的最低运价。

2.再用位势法或者闭回路法进行检验

位势法：

令任意一个位势为0（不妨u1=0），计算位势和检验数：

数格对应的运价等于位势和；

空格对应的运价减去位势和等于检验数。

3.若不是最优解，用闭回路法调整后回到第2步

检验数全部大于等于零，得到最优解；

调整检验数小于零的空格所对应的闭回路：

以该空格为第一个奇数顶点，找出偶数顶点中最小的运输量为调整量，奇数顶点加上调整量，偶数顶点减去调整量。

1.求最优调运方案（写出min值）

16

12

2.求最优调运方案（写出min值）

1.总运费为118

2.总运费为32

1.对于m行n列的运输表，无论是初始解还是最优解，数格的个数应该等于m+n-1。

并且数格不能形成闭回路。

2.检查位势是否计算正确，数格处的位势和应等于数格所对应的运价

3.运价用于计算位势，得到的解（运输量）用于调整

4.如果计算出相同的罚数，任意选一个

5.如果同时划掉一行及一列，则在此行此列任意选一个空格补0.始终保持数格个数为m+n-1

6.如果空格的检验数等于0，意味着最优解不唯一。

2、产销不平衡问题

1.先将产销不平衡问题化为产销平衡问题

增加虚拟销地或产地；

运价设为0，销量或产量等于产销不平衡的差值

2.再求解新得到的产销平衡问题。

此问题是一个产销不平衡问题，由产大于销，故增加虚拟销地B5，令销量为（5+2+6）-（3+3+2+2）=3，单位运价为0化为产销平衡问题。

用沃格尔法求初始解

销地

产地

B5

3111

20

列

罚

数

-1

调整-1所在的闭回路，

调整量为0，改进后的解为

-2

调整量为1，改进后的解为

-3

调整量为2，改进后的解为