运筹学复习题Word文档格式.docx
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b
x1x2x3x4
x3
x4
9
8
3410
[5]201
3
8/5
cj-zj
10
x1
21/58/5
0[14/5]1-3/5
12/501/5
3/2
4
010-2
5
x2
1
015/14-3/14
10-1/72/7
00-5/14-25/14
所有非基变量的检验数全部小于零,所以此线性规划问题有唯一最优解。
最优解X=(1,3/2,0,0);
最优值Z=35/2.
解题步骤
1.化为标准形
2.列表求解
Key:
寻找主元(检验数最大,检验比最小)
主元变为1,其余变为0.
3.结论(最优解和最优值)
练习题:
1.
2.
3.
4.
练习题答案
1.最优解X=(15/4,3/4,0,0),最优值maxz=33/4
2.最优解X=(2,6,2,0,0),最优值maxz=34
3.最优解X=(1,0,2,7,0,0),最优值maxz=12
4.最优解X=(1,2,0,0,0),最优值maxz=8
注意细节
1.右端项b用于计算检验比,只有系数大于0时才计算检验比;
价值系数cj用于计算检验数。
2.注意自我检查:
基变量一定对应到单位矩阵,其检验数一定等于0;
最优表给出对偶问题的最优解,对应的最优值等于原问题的最优值。
3.对矩阵的某行乘以一个较大的数,总能做到所有检验数小于0,所以不要随便通分,如练习4。
二、对偶问题及互补松弛性
例、给出线性规划问题:
要求:
(1)写出其对偶问题;
(2)已知原问题的最优解为X*=(2,2,4,0),试根据对偶理论,直接求出对偶问题的最优解。
(1)对偶问题为
(2)将最优解(2,2,4,0)带入原问题的约束条件,
根据互补松弛性,
另一方面,因为,相应的对偶问题的约束条件应取等号。
所以
解得
从而,对偶问题的最优解为Y=(4/5,3/5,1,0),
最优值为16
1.写出对偶问题的步骤
最大变最小;
系数矩阵转置;
≤变≥;
价值系数与右端项互换。
2.互补松弛性的应用
约束条件对应决策变量
第一步:
把最优解带入约束条件,约束条件取不等号,相应的决策变量等于零;
第二步:
最优解不为零,对应的约束条件取等号;
第三步:
解方程
1.已知线性规划
的最优解是X*=(6,2,0),
(1)写出原问题的对偶问题;
(2)根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。
2.已知线性规划
其对偶问题的最优解为Y*=(4,1),
(1)写出对偶问题;
(2)应用对偶问题的性质,求原问题的最优解。
3.已知线性规划
其最优解为X*=(4/5,3/5),
(2)应用对偶问题的性质,求对偶问题的最优解。
4.已知线性规划
其对偶问题的最优解为Y*=(1.2,0.2),
(2)应用对偶性质,求原问题的最优解
1.对偶问题最优解Y=(1,1),最优值为26
2.原问题的最优解X=(0,0,4,4),最优值为44
3.对偶问题的最优解Y=(1,0,0,0,1),最优值为5
4.原问题的最优解X=(0,0,4,4),最优值为28
写对偶问题时,不要忘了决策变量的非负约束;
注意计算最优值,自我检查最优解应满足所有的约束条件,且原问题的最优值应该等于对偶问题的最优值。
三、表上作业法求解运输问题
1、产销平衡问题
例下表为各产地和各销地的产量和销量,以及各产地至各销地的单位运价,试用表上作业法求最优解。
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
A2
A3
2
7
6
销量
20
先用沃格尔法求初始解
行罚数
3022
115
2244
列罚数
得初始调运方案:
下面用位势法进行检验:
ui
vi
所有检验数≥0,此时问题已达到最优解
总运费minz=5*1+3*4+6*1+2*0+3*5+1*1=39
1.先用沃格尔法或者最小元素法求出初始解
沃格尔法:
优先供应罚数大的运输任务
最小元素法:
优先考虑所有任务中的最低运价。
2.再用位势法或者闭回路法进行检验
位势法:
令任意一个位势为0(不妨u1=0),计算位势和检验数:
数格对应的运价等于位势和;
空格对应的运价减去位势和等于检验数。
3.若不是最优解,用闭回路法调整后回到第2步
检验数全部大于等于零,得到最优解;
调整检验数小于零的空格所对应的闭回路:
以该空格为第一个奇数顶点,找出偶数顶点中最小的运输量为调整量,奇数顶点加上调整量,偶数顶点减去调整量。
1.求最优调运方案(写出min值)
16
12
2.求最优调运方案(写出min值)
1.总运费为118
2.总运费为32
1.对于m行n列的运输表,无论是初始解还是最优解,数格的个数应该等于m+n-1。
并且数格不能形成闭回路。
2.检查位势是否计算正确,数格处的位势和应等于数格所对应的运价
3.运价用于计算位势,得到的解(运输量)用于调整
4.如果计算出相同的罚数,任意选一个
5.如果同时划掉一行及一列,则在此行此列任意选一个空格补0.始终保持数格个数为m+n-1
6.如果空格的检验数等于0,意味着最优解不唯一。
2、产销不平衡问题
1.先将产销不平衡问题化为产销平衡问题
增加虚拟销地或产地;
运价设为0,销量或产量等于产销不平衡的差值
2.再求解新得到的产销平衡问题。
此问题是一个产销不平衡问题,由产大于销,故增加虚拟销地B5,令销量为(5+2+6)-(3+3+2+2)=3,单位运价为0化为产销平衡问题。
用沃格尔法求初始解
销地
产地
B5
3111
20
列
罚
数
-1
调整-1所在的闭回路,
调整量为0,改进后的解为
-2
调整量为1,改进后的解为
-3
调整量为2,改进后的解为