人员指派问题.docx
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人员指派问题
练习1指派问题
题目：
人员指派问题
关键词：
最优化问题、0-1规划、Lingo
摘要
对于成本最低问题，我们考虑到最优化模型，在使用最优化模型的过程中，又出现在第i个人做或者不做第j项任务的问题，此时我们运用0-1规划问题，如果第i个人做第j项任务，；如果第i个人不做第j项任务，此时令。
最后根据最优化模型的三步骤，逐步确定设计变量和目标变量、目标函数和约束条件。
最终利用Lingo软件，求出最优结果有：
最小的总成本应为32，并且得到其中，，，，，也就是说，由第1个人做第2个项目；第2个人做第3个项目；第3个人做第5个项目；第4个人做第4个项目；第5个人做第1个项目。
一、问题重述
设有n项任务要分给n个人完成，每人完成一项。
由于每个人的专长不同，完成任务所需的成本也不同。
若第i个人完成第j个问题的成本为，见下表。
问题：
如何分配这些工作任务，使总成本为最小。
表：
每个人员的成本
工作
人员
1
2
3
4
5
1
12
7
9
7
9
2
8
9
6
6
6
3
7
17
12
14
9
4
15
14
6
6
10
5
4
10
7
10
9
二、问题分析
对于此问题，首先，它是一个线性最优化问题，要求在满足约束条件的情况下，使得成本达到最优。
对于有n项任务要分给n个人完成，并且每人必须且只能完成一项，这里我们要应用0-1规划问题，对于任务j来说，第i个人要么做这项任务，此时令；要么不做这项任务，此时令。
再考虑每个人的工作成本，使得最后的成本最低，达到最优。
三、符号说明
：
第i个人完成第j个项目的成本；
：
第i个人做第j个项目；
四、模型假设
1.假设除人员成本外无其他因素影响总成本。
五、问题求解
5.1模型建立
5.1.1确定设计变量和目标变量
利用最优化问题，使得最后求解出的总成本最低，其中，要考虑题目中要求n个人对应n个项目，所以，要排除一个人对应多个项目和一个项目对应多个人的情况。
5.1.2确定目标函数的表达式
总成本为：
5.1.3寻找约束条件
（1）对于每一个项目只由有一个人完成：
（2）对于每一个人只能完成一个项目：
（1）对于第i个人完成第j个项目有，
即第i个人要么做第j项任务，此时令；要么不做第j项任务，此时令。
我们对问题进行分析后，建立模型如下：
其中数值对应于下表
工作
人员
1
2
3
4
5
1
12
7
9
7
9
2
8
9
6
6
6
3
7
17
12
14
9
4
15
14
6
6
10
5
4
10
7
10
9
5.2模型求解
关于0-1整数规划问题，我们利用Lingo程序对模型进行求解，编程如下截图一：
图1Lingo程序求解程序
运行编写的Lingo程序，得到如下结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
32.00000
Objectivebound:
32.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
C（1,1）12.000000.000000
C（1,2）7.0000000.000000
C（1,3）9.0000000.000000
C（1,4）7.0000000.000000
C（1,5）9.0000000.000000
C（2,1）8.0000000.000000
C（2,2）9.0000000.000000
C（2,3）6.0000000.000000
C（2,4）6.0000000.000000
C（2,5）6.0000000.000000
C（3,1）7.0000000.000000
C（3,2）17.000000.000000
C（3,3）12.000000.000000
C（3,4）14.000000.000000
C（3,5）9.0000000.000000
C（4,1）15.000000.000000
C（4,2）14.000000.000000
C（4,3）6.0000000.000000
C（4,4）6.0000000.000000
C（4,5）10.000000.000000
C（5,1）4.0000000.000000
C（5,2）10.000000.000000
C（5,3）7.0000000.000000
C（5,4）10.000000.000000
C（5,5）9.0000000.000000
X（1,1）0.00000012.00000
X（1,2）1.0000007.000000
X（1,3）0.0000009.000000
X（1,4）0.0000007.000000
X（1,5）0.0000009.000000
X（2,1）0.0000008.000000
X（2,2）0.0000009.000000
X（2,3）1.0000006.000000
X（2,4）0.0000006.000000
X（2,5）0.0000006.000000
X（3,1）0.0000007.000000
X（3,2）0.00000017.00000
X（3,3）0.00000012.00000
X（3,4）0.00000014.00000
X（3,5）1.0000009.000000
X（4,1）0.00000015.00000
X（4,2）0.00000014.00000
X（4,3）0.0000006.000000
X（4,4）1.0000006.000000
X（4,5）0.00000010.00000
X（5,1）1.0000004.000000
X（5,2）0.00000010.00000
X（5,3）0.0000007.000000
X（5,4）0.00000010.00000
X（5,5）0.0000009.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
OBJ32.00000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
100.0000000.000000
110.0000000.000000
120.0000000.000000
131.0000000.000000
140.0000000.000000
150.0000000.000000
160.0000000.000000
170.0000000.000000
180.0000000.000000
191.0000000.000000
200.0000000.000000
210.0000000.000000
220.0000000.000000
230.0000000.000000
240.0000000.000000
250.0000000.000000
261.0000000.000000
270.0000000.000000
280.0000000.000000
290.0000000.000000
301.0000000.000000
310.0000000.000000
321.0000000.000000
330.0000000.000000
340.0000000.000000
350.0000000.000000
360.0000000.000000
我们从运行结果可以的到，根据约束条件和0-1规划条件，最后得到最小的总成本应为32，并且得到其中，，，，，也就是说，由第1个人做第2个项目；第2个人做第3个项目；第3个人做第5个项目；第4个人做第4个项目；第5个人做第1个项目。
这样就得到了最优解，即最低总成本32。
六、模型的评价与推广
优点：
1.此模型精确的求出了第几个人做第几个项目，并且求出了精确的总成本最低的最优解。
2.本模型为类似的公司提供了降低成本的方法，即根据不同人对不同业务的工作成本，通过类似的方法对人员进行分工，从而使得成本最低。
模型改进：
1.本优化模型只考虑了如何使成本最低，但是在实际生活中，我们还应考虑如何使得效益最高，而不是一味的降低成本。
2本题的模型是采用0-1混合型线性规划，在变量个数不是很大的情况下可以用Lingo求出准确的最优解，而且速度较快；但是当情况很复杂变量很多、有些因素是难以甚至无法量化时，采本题的模型就很难进行求解与分析了。
练习2
题目：
平板车装车问题
关键词：
最优模型、Lingo
摘要
本文应用求解最优化模型中的线性规划方法，对两个平板车进行了装车问题的分析，其中要考虑各个约束条件对目标函数的约束，通过优化模型求解过程，分别确定了设计变量和目标变量、目标函数和约束条件。
最终求出符合题意的最优化结果，得到第一辆平板车装的包装箱为规格的8箱，规格的1箱，规格的6箱，规格的3箱；第二辆平板车装的包装箱为规格的6箱，规格的9箱，规格的3箱。
第一辆平板车浪费的空间为第二辆平板车浪费的空间为，所以最优化模型结果总浪费的空间为0.6cm.
一、问题重述
要把7种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上去，箱子的宽高相同，而厚度和重量不同，下表给出它们的厚度、重量与数量。
每辆平板车有10.2米长的地方装箱（像面包片那样），载重40吨。
由于货运限制，对三种包装箱的装载有如下特殊要求：
它们所占的空间（厚度）不得超过302.7厘米。
试把包装箱装到平板车上，使浪费的空间最小。
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
厚度（厘米）
48.7
52.0
61.3
72.0
48.7
52.0
64.0
重量（千克）
2000
3000
1000
500
4000
2000
1000
数量
8
7
9
6
6
4
8
二、问题分析
问题是把包装箱装到平板车上，使浪费的空间最小，显然这是一个最优化问题。
问题已知每辆平板车有10.2米长的地方装箱，要使浪费的空间最小，从而可将问题转化为装箱之后，使利用的空间最大。
三、符号说明
1、（j=1,2,3,4,5,6,7）分别表示7种不同规格的包装箱；
2、（i=
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