高二数学练习卷数学归纳法Word格式文档下载.docx

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（2）

要比较

的大小，只需比较

的大小，也就是比较当

时，

的大小．

当

，知

经验证，

时，均有

成立，猜想，当

时有

下面用数学归纳法证明：

（ⅰ）

时已证

（ⅱ）假设

时不等式成立，即

，好么

故

．即

时不等式也成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）当

成立，即

说明：

开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．

猜想数列通项、利用归纳法证明不等式

例设数列

满足

（1）当

时，求

，并由此猜想出

的一个通项公式；

（2）当

时，证明对所有的

，有（ⅰ）

（ⅱ）

本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．

（1）由

得

由

，得

由此猜想

的一个通项公式：

（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：

①当

，不等式成立．

②假设当

，那么，

也就是说，当

根据①和②，对于所有

，有

（ⅱ）由

及（ⅰ），对

……

于是

证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．

数列与归纳法的综合题

例设

为常数，且

（Ⅰ）证明对任意

（Ⅱ）假设对任意

有

，求

的取值范围．

本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．

证明：

（Ⅰ）证法一：

时，由已知

，等式成立．

（ⅱ）假设当

等式成立，即

那么

时，等式也成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）可知

证法二：

如果设

用

代入，可解出

所以

是公比的－2，首项为

的等比数列．

即

（Ⅱ）解法一：

通项公式

①

（ⅰ）当

时，①式即为

即为

②

②式对

都成立，有

（ⅱ）当

③

③式对

综上，①式对任意

成立，有

的取值范围为

解法二：

如果

成立，特别取

因此

下面证明当

时，对任意

，时

判断证明过程的正误

例试判断下面的证明过程是否正确：

用数学归纳法证明：

时，左边＝1，右边＝1

∴当

时命题成立．

（2）假设当

时命题成立，即

则当

时，需证

由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为

的等差数列的前

项和，其和为

∴

式成立，即

时，命题成立．根据

（1）

（2）可知，对一切

，命题成立．

分析：

看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确．关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的．

以上用数学归纳法证明的过程是错误的．

在证明当

时等式成立时，没有用到当

时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求．

第二步正确的证明方法是：

假设当

即当

时，命题成立．

说明：

用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可．尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的．

用数学归纳法证明等式

例用数学归纳法证明

用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当

时，等式两边的式子与

时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．

时，左边

，右边

，赞美式成立．

时，等式成立，即

时，等式成立．

根据

（1）、

（2）可知，对一切

解题过程中容易将

时，等式右边错写为

，从而导致证明错误或无法进行．特别要注意等式右边的每一个式子都在随

的变化而变化．

利用数学归纳法证明正切等式

在由假设

时等式成立，推导当

时等式成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式，本题中涉及到两个角的正切的乘积问题，联想到两角差的正切公式的变形公式：

，问题就会迎刃而解．

右边

代入

式，得

这就是说，当

时等式成立．

根据

（1）、

（2）可知，对任意

灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧，恰当的应用公式是关键．如果应用公式

来变形，本题就会出现困难．解决有关

的式子时，经常要用到

展开式及其变形公式．

利用归纳法证明整除问题

例用数学归纳法证明：

能被9整除．

．

证明一个与

有关的式子

能被一个数

（或一个代数式

）整除，主要是找到

的关系，设法找到式子

，使得

，就可证昨命题成立．

，能被9整除，命题成立．

能被9整除，当

都能被9整除．

由

（1）、

（2）可知，对任何

命题都成立．

如果将

变为

能被9整除，困难就大一些．本题也可用二项式定理把

写成

展开后，再证明．

用归纳法证明直线分割平面问题

例平面内有

条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明这

条直线把平面分成

个部分．

用数学归纳法证明几何问题，主要搞清楚当

时比当

时，分点增加了多少个，区城增加了多少块，线段增加了多少条．本问题中第

条直线与前

条直线有

个分点，平面区域增加了

块．

时，平面被分成2部分．

又

时命题成立．即符合条件的

个部分．现在来考虑平面内有

条直线的情况．任取其中的一条直线，记为

（如下图）图

与其它

个交点，平面区域增加了

块，从而这

条直线把平面分成了

根据

（1）、

（2）可知，命题对任何正整数都成立．

不能错误地认为第

条直线被其它

条直线分成

段，区域增加了

部分或2

部分．

证明有关几何问题，哪

边形内角和公式，

边形对角线条数公式，还要确定初始值

应为多少．由

到

时又是如何变化的．

猜想并证明数列的通项

例对于数列

，若

（1）求

，并猜想

的表达式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想．

由已知条件，可直接求出

式，通过观察归纳，猜想出

的表达式，再用数学归纳法加以证明．

同理可得

猜想

（2）（ⅰ）当

时，右边

时

，等式成立，即

，则当

根据（ⅰ）、（ⅱ）可知，对于一切

，

成立．

这类题型是常见题型，尤其是用数学归纳法证明与递推关系有关系的命题时，依归纳假设证明当

时命题也成立时，除了用上假设之外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用．这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方．

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