最新初中数学九上课本变式题1.docx

最新初中数学九上课本变式题1.docx

《最新初中数学九上课本变式题1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新初中数学九上课本变式题1.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新初中数学九上课本变式题1

九年级上册·课本亮题拾贝

课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性．在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养．

21．1二次根式

题目计算：

．（人教课本P82（4）题）

解原式=．

点评大家知道，当a≥0时，有意义，且．而当a＜0时，也有意义，此时，进一步的，则等于－a（－a＞0）．为了预防解题粗心出错（如），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算．

演变

变式1填空：

（1）=；

（2）=．（答案：

（1）

（2））

变式2当x时，式子在实数范围内有意义？

（答案：

＞）

变式3若是整数，求正整数n的值（至少写出3个）．

（答案：

n=1，2，9，17等．）

变式4是否存在正整数n，使得是有理数？

若存在，求出一个n的值；若不存在，请说明理由．

解假设存在正整数n，使是有理数，则因为3n+2是正整数，所以3n+2应该是一个完全平方数．

假设3n+2等于k（k≥3，k是正整数）的平方，则k=3p或者3p+1或者3p+2，也就是说k除以3余0或者1或者2，而（3p）2除以3余0，（3p+1）2=9p2+6p+1，（3p+2）2=9p2+12p+4除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2．表明3n+2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n，使是有理数．

21．2二次根式的乘除

题目计算：

．（人教课本P156（4）题）

解原式==15．

另法原式=．

点评进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（（a、b≥0），（a≥0，b＞0）），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用．一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）．

演变

变式1填空：

（1）=；

（2）=．（答案：

（1）

（2））

因为原式=，2+3=5，

所以设2=a，3=b，则5=a+b，题目可演变成如下形式：

变式2化简：

．

解原式==b（a+b）=ab+b2．

若赋予a一些不同的值（相应的可得到b的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题．

变式3甲、乙两同学在化简时，采用了不同的方法：

甲：

因为x，y是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x＞0，y＞0，

于是令x=1，y=1，代入可得，原式=．

乙：

原式=．

从而得出了不同的结果．请指出甲、乙同学的做法是否正确？

说明理由．

解甲，乙两同学的做法都不正确．

甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是．

乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常是一个整体，是被除式．

正确解法是：

原式=．

21．3二次根式的加减

题目已知，，求下列各式的值：

（1）x2+2xy+y2；

（2）x2－y2．（人教课本P216题）

解∵，，

∴，x－y=2，xy=2．

于是x2+2xy+y2=（x+y）2=，

x2－y2=（x+y）（x－y）=．

点评本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值．通常的思路是：

先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值．

演变

变式1已知，，求：

（1），

（2）的值．

解由已知可得a+b=2，，ab=－1．

（1）原式=．

（2）原式=．

变式2如果实数a，b满足a2+2ab+b2=12，，求的值．

解显然b≠0，于是由已知，得，

∴，即，

有，因此．

说明上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！

），又避免了解方程组的难点．本题还可以进一步求出a、b的值．

∵，∴（x－1）2=3，得x2－2x=2，结合x≠0，两边除以x，

得，注意到，则=，，得

变式3若实数x满足，试求：

（1）；

（2）；（3）的值．

（答案

（1）8

（2）（3））

22.2降次——解一元二次方程

题目无论p取何值时，方程（x－3）（x－2）－p2=0总有两个不等的实数根吗？

给出答案并说明理由．（人教课本P4612题）

解原方程可化为x2－5x+6－p2=0．

方程根的判别式为△=（－5）2－4（6－p2）=1+4p2，

对任何实数值p，有1+4p2＞0，

∴方程有两个实数根x1=，x2=，且两个根不相等．

另法由p2=（x－3）（x－2）=x2－5x+6=，

得，无论p取何值≥，因此．

点评解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法．一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法．

（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式．

（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有△≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0．

（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根据具体题目的特点来确定）：

①利用求根公式求出根来；②利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：

x1+x2=x1x2=，以便后继作整体代换；③将根代入方程中进行整体处理．

演变

变式1分别对p赋值0，2，等，可得如下确定的方程：

解方程：

（1）x2－5x+6=0；

（2）x2－5x+1=0；（3）4x2－20x+21=0．

变式2当x取什么范围内的值时，由方程（x－3）（x－2）－p2=0确定的实数p存在？

请说明理由．

解对任意实数p，有p2≥0，所以只需p2=（x－3）（x－2）≥0，利用同号相乘得正的原理，得x应满足或解得x≥3或x≤2．

表明，当x取x≤2或x≥3范围内的实数时，由方程（x－3）（x－2）－p2=0确定的实数p存在．

变式3指出方程（x－3）（x－2）－p2=0的实数根所在的范围？

解∵方程有两个不相等的实数根x1=，x2=，

且对任意实数p，有1+4p2≥1，∴有x1≥，x2≤，

即方程的实数根所在的范围是x≤2或x≥3．

变式4试求y=（x－3）（x－2）的最小值．

解由y=（x－3）（x－2）=x2－5x+6=，

得y的最小值为，当时取得．

22.3实际问题与一元二次方程

题目如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中

有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:

2，如果要使彩条

所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确

到0.1cm）？

（人教课本P5310题）

分析结合图形，阅读理解题意（数形结合）．矩形图案中，长30cm，宽20cm．现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:

2，于是设横彩条宽为3xcm，则竖彩条的宽就为2xcm，其长与矩形图案的长宽相关．等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”．

解根据题意，设横向彩条的宽为3x，则竖向彩条的宽为2x，于是，

建立方程，得，

化简，得12x2－130x+75=0．

解得．

因此横向彩条宽1.8cm，竖向彩条宽1.2cm．

另法如图，建立方程，得．

法三如图，建立方程，得．

点评列一元二次方程解应用题的一般步骤为：

（1）设：

即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；

（2）列：

根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；

（3）解：

解所列方程；

（4）验：

一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；

（5）答：

即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位．

演变

变式1矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽．（答案：

）

变式2矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？

解因为矩形图案的长、宽比为30:

20=3:

2，所以中央矩形的长、宽之比也应为3:

2，设其长为3x，则宽为2x，所以，得，从而上、下边宽为

，左、右宽为．

变式3如图，一边长为30cm，宽20cm的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器．求所得容器的容积V关于截去的小正方形的边长x的函数关系式，并指出x的取值范围．

解根据题意可得，V关于x的函数关系式为：

V=（30－2x）（20－2x）x．

即V=4x3－100x2+600x，

x的取值范围是0＜x＜10．

变式4在一块长30m、宽20m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半．

小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等．小明通过列方程，并解方程，得到小路的宽为2.5m或22.5m．

小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同．

解答下列问题：

（1）小明的结果对吗？

为什么？

（2）请你帮小亮求出图乙中的x？

（3）你还有其他设计方案吗？

甲乙

解

（1）小明的设计方案：

由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x米．

则根据题意，列出方程，得，即x2－25x+75=0，解得x=或x=．由于矩形荒地的宽是20m，故舍去x=，得花园四周小路宽为m，所以小明的结果不对．

（2）小亮的设计方案：

由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x米，列方程得，所以m．（3）略．

23.1图形的旋转

题目如图，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？

你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？

（人教课本P679题）

解∵△ABD是等边三角形，

∴AB=AD，∠BAD=60︒．

同理AE=AC，∠EAC=60︒．

∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60︒就得到△CAD，

∴△ABE≌△ADC，从而BE=DC．

另法∵△ABD，△AEC都是等边三角形，

∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60︒，

于是∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠EAC=∠EAB．

从而有△CAD≌△EAB，

∴DC=BE．

点评由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．

演变

变式1如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，

△EBC可以看作是△DAC经过什么图形变换得到的？

说明理由．（人教课本P805题）

说明：

如上题图，去掉BC，把D，A，E放在一直线上即得．

本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变．

（1）△ABC与△CDE在BC的异侧．

（2）点C在BD的延长线上．

（3）C点在BD外．

（4）△ACD与△BDE在BD的异侧，

且D点在BC的延长线上．

（5）△ABC与△CDE都改为顶角相等的等腰三