平方差公式与完全平方公式试题含答案1Word文档格式.docx

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=x2-2xy+y2-z2

⑦连用公式变化，（x+y）（x-y）（x2+y2）

=（x2-y2）（x2+y2）

=x4-y4

⑧逆用公式变化，（x-y+z）2-（x+y-z）2

=[（x-y+z）+（x+y-z）][（x-y+z）-（x+y-z）]

=2x（-2y+2z）

=-4xy+4xz

例1．已知

，

，求

的值。

解：

∵

∴

=

例2．已知

∴

例3：

计算19992-2000×

1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。

19992-2000×

1998=19992-（1999+1）×

（1999-1）

=19992-（19992-12）=19992-19992+1=1

例4：

已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和（a-b）2的值。

〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。

a2+b2=（a+b）2-2ab=4-2=2

（a-b）2=（a+b）2-4ab=4-4=0

例5：

已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。

因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）（x-z）=14×

4=56。

例6：

判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。

观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1

=24096

=161024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

（1）1032=（100+3）2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609

（2）1982=（200-2）2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4=39204

例8．计算

（1）（a+4b-3c）（a-4b-3c）

（2）（3x+y-2）（3x-y+2）

（1）原式=[（a-3c）+4b][（a-3c）-4b]=（a-3c）2-（4b）2=a2-6ac+9c2-16b2

（2）原式=[3x+（y-2）][3x-（y-2）]=9x2-（y2-4y+4）=9x2-y2+4y-4

例9．解下列各式

（1）已知a2+b2=13，ab=6，求（a+b）2，（a-b）2的值。

（2）已知（a+b）2=7，（a-b）2=4，求a2+b2，ab的值。

（3）已知a（a-1）-（a2-b）=2，求

（4）已知

分析：

在公式（a+b）2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。

（1）∵a2+b2=13，ab=6

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+2⨯6=25（a-b）2=a2+b2-2ab=13-2⨯6=1

（2）∵（a+b）2=7，（a-b）2=4

∴a2+2ab+b2=7①a2-2ab+b2=4②

①+②得2（a2+b2）=11，即

①-②得4ab=3，即

（3）由a（a-1）-（a2-b）=2得a-b=-2

（4）由

，得

即

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？

为什么？

由于1⨯2⨯3⨯4+1=25=52

2⨯3⨯4⨯5+1=121=112

3⨯4⨯5⨯6+1=361=192

……得猜想：

任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。

设n，n+1，n+2，n+3是四个连续自然数

则n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n+1）2

∵n是整数，∴n2，3n都是整数∴n2+3n+1一定是整数

∴（n2+3n+1）是一个平方数∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

例11．计算

（1）（x2-x+1）2

（2）（3m+n-p）2

（1）（x2-x+1）2=（x2）2+（-x）2+12+2⋅x2⋅（-x）+2⋅x2⋅1+2⋅（-x）⋅1=x4+x2+1-2x3+2x2-2x

=x4-2x3+3x2-2x+1

（2）（3m+n-p）2=（3m）2+n2+（-p）2+2⋅3m⋅n+2⋅3m⋅（-p）+2⋅n⋅（-p）=9m2+n2+p2+6mn-6mp-2np

两数和的平方的推广

（a+b+c）2=[（a+b）+c]2=（a+b）2+2（a+b）⋅c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac即（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法

（一）、套用:

这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1.计算：

解：

原式

（二）、连用:

连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2.计算：

例3.计算：

三、逆用:

学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4.计算：

四、变用:

题目变形后运用公式解题。

例5.计算：

五、活用:

把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6.已知

例7.计算：

例8.已知实数x、y、z满足

，那么

（）

由两个完全平方公式得：

从而

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．

　　例1计算（-2x2-5）（2x2-5）

　　分析：

本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．

　　解：

原式=（-5-2x2）（-5+2x2）=（-5）2-（2x2）2=25-4x4．

例2计算（-a2+4b）2

运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；

若将题目变形为（4b-a2）2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件

　　例3计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）．

粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

原式=〔（2x+5）+（y-z）〕〔（2x+5）-（y-z）〕

　　=（2x+5）2-（y-z）2

　　=4x2+20x+25-y+2yz-z2．

例4计算（a-1）2（a2+a+1）2（a6+a3+1）2

若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．

原式=[（a-1）（a2+a+1）（a6+a3+1）]2

　　=[（a3-1）（a6+a3+1）]2

　　=（a9-1）2=a18-2a9+1

　　例5计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．

此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

　　=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）

　　=（24-1）（24+1）（28+1）

　　=（28-1）（28+1）

　　=216-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由（a+b）2=a2+2ab+b2，可推广得到：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

　　可叙述为：

多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

　　例6计算（2x+y-3）2

原式=（2x）2+y2+（-3）2+2·

2x·

y+2·

2x（-3）+2·

y（-3）

　　=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

　　例7

（1）已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；

（2）已知：

x+2y=7，xy=6，求（x-2y）2的值．

粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：

x2+y2=（x+y）2-2xy，x3+y3=（x+y）3-3xy（x+y），（x+y）2-（x-y）2=4xy，问题则十分简单．

（1）∵x3+y3=（x+y）3-3xy（x+y），将已知条件代入得100=103-3xy·

10，

　　∴xy=30　　故x2+y2=（x+y）2-2xy=102-2×

30=40．

（2）（x-2y）2=（x+2y）2-8xy=72-8×

6=1．

例8计算（a+b+c）2+（a+b-c）2+（a-b+c）+（b-a+c）2．

直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2），因而问题容易解决．

原式=[（a+b）+c]2+[（a+b）-c]2+[c+（a-b）]2+[c-（a-b）]2

　　=2[（a+b）2+c2]+2[c2+（a-b）2]

　　=2[（a+b）2+（a-b）2]+4c2

　　=4a2+4b2+4c2

　　（五）、注意乘法公式的逆运用

　　例9计算