算术平均数与几何平均数五 人教版必修Word格式.docx

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当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.

（2）这两个数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.

（3）要保证“=”确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.

●教学难点

如何凑成两个（或三个）数的和或积是定值.

●教学方法

激励——探索——讨论——发现

●教具准备

小黑板或多媒体

课件一：

记作§

6.2.2　A

几个重要的不等式

1.a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号.

2.

（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号.

3.

≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号.

课件二：

6.2.2B

试一试寻思路

例1已知x，y都是正数，求证：

（1）若积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2

；

（2）若和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值

S2.

课件三：

6.2.2C

练一练求稳固

1.已知x≠0，当x取什么值时，x2+

的值最小？

最小值是多少？

2.一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

3.设0<

x<

2，求函数f

（1）=

的最大值，并求出相应的x值.

课件四：

6.2.2D

议一议谋发展

1.已知a>

0,x>

0,y>

0,

=1，求证：

x+y≥（

）2.

2.若x,y,z∈R,x+y+z=1，求证x2+y2+z2≥

.

●教学过程

[师]Goodmorning,everyone.

（同学们上午好）

[生]Goodmorning,teacher.

（老师上午好）

[师]Sitdown,please.（请坐）

Todaywe’lllearnthenewlesson.

（今天我们开始上新课）

Areyouready?

（准备好了吗？

）

[生]Yes.（是的）

[师]OK!

Nowlet’sbegin.

（好！

现在开始上课）

Ⅰ.课题导入

上一节课，我们学习了一个重要定理：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（以下简称均值不等式）.这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，它的应用非常广泛，例如：

证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活、变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们共同来探索研究均值不等式的应用.

Ⅱ.讲授新课

想一想公式通

（让同学们默读、联想、记忆上一节课所学内容，并加以口头回答，教师打出课件一§

6.2.2A对照检查其正确性）

[师]谁来回答我们上一节课学的定理呢？

[生1]a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号；

（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

[师]它有哪些推广呢？

[生2]

≥2（ab＞0），当且仅当a＝b时取“＝”号；

[生3]

（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号；

a3＋b3＋c3≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），当且仅当a＝b＝c时取“＝”号.（注：

教师可板书公式）

[师]请生3回答，你是如何想到的呢？

[生3]我是通过课本目录，看到P24阅读材料与我们本节内容有关系，通过预习知道的.

[师]非常好！

请同学们为上述同学能主动积极回答问题加油鼓掌.

[教师打出课件二§

6.2.2B，让同学们根据公式试着做如下题目，并通过讨论（同学间讨论、师生间交流），归纳出解决问题的基本思想]

［例1］已知x、y都是正数，求证：

（1）若积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2

（2）若和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值

［生4］

（1）∵x，y都是正数

∴

当积xy＝P为定值时，有

，

即x＋y≥2

上式中，当x＝y时取“＝”号，故当x＝y时，和x＋y有最小值2

[生5]

（2）∵x>

0,∴x+y≥2

，∴

≤

当和x＋y＝S为定值时，有

即xy≤

上式中，当x=y时取“=”号，故当x=y时积xy有最大值

（生推导，师欣赏，鼓励学生，生板演，得出）

（生积极主动，推导板演，师欣赏，鼓励学生勇于探索）

[生6]（方法一）∵a>

0,∴a2+b2≥2ab，∴a2≥2ab-b2，

∴a3+b3=a·

a2+b·

b2≥a（2ab-b2）+b（2ab-a2）=a2b+ab2.

[生7]（方法二）∵a>

0,c>

0,

∴a3+b3+c3≥3abc，

又∵a>

0，

∴a2b+ab2=a·

a·

b+a·

b·

b≤

=a3+b3，

即a3+b3≥a2b+ab2.

（师：

做完一道题目，如果能够广开思维方向，积极进行多途径探索，将会促使你的解题能力快速提高）

（让同学们进行交流、归纳，总结出上述同学们完成题目的基本思想）

［生8］对例1的证明告知我们，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：

若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；

若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.

[生9]在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：

（1）函数式中，各项（必要时，还要考虑常数项）必须都是正数.例如，对于函数式x＋

，当x＜0时，绝不能错误地认为关系式x＋

≥2成立，并由此得出x＋

的最小值是2.事实上，当x＜0时，x＋

的最大值是－2，这是因为x＜0

－x＞0，－

＞0

－（x＋

）＝（－x）＋（－

）≥2

＝2

x＋

≤－2.同时还可以看出，最大值是－2，它在x＝－1时取得.

（2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.

[生10]在运用均值不等式时应注意：

“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.

[师]上述题目的解决启发我们：

观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解（数学思想方法的提炼）

（打出课件三§

6.2.2C，让同学们通过课堂练习进一步巩固本节的重要不等式——均值不等式，以达到熟练运用均值不等式解决问题的能力）

Ⅲ.课堂练习

1.已知x≠0，当x取什么值时，x2＋

的值最小?

最小值是多少?

[生11]x≠0

x2＞0，

＞0.

∴x2＋

≥2

＝1８，

当且仅当x2＝

，即x＝±

3时取“＝”号.

故x=±

3时，x2+

的值最小，其最小值是18.

2.一段长为Ｌm的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

[生12]（方法一）设矩形菜园的宽为x　m，则长为（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜

，其面积

S＝x（Ｌ－2x）＝

·

2x（Ｌ－2x）≤

当且仅当2x＝Ｌ－2x，即x＝

时菜园面积最大，即菜园长

m，宽为

m时菜园面积最大为

m2.

[生13]（方法二）设矩形的长为xm，则宽为

m，面积

S＝

（m2）.

当且仅当x＝Ｌ－x，即x＝

（m）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为

m时，菜园的面积最大，最大面积为

3.设0＜x＜2，求函数f（x）＝

[生14]∵0＜x＜2

∴3x＞0，8－3x＞0

∴f（x）＝

＝4

当且仅当3x＝8－3x时，即x＝

时取“＝”号.

故函数f（x）的最大值为4，此时x＝

4.利用算术平均数与几何平均数的关系定理（均值不等式），可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：

某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?

［生15］设水池底面一边的长度为x　m，则另一边的长度为

m，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得：

ｌ＝150×

＋120（2×

3x＋2×

3×

＝240000＋720（x＋

）.

≥240000＋720×

2

＝240000＋720×

2×

40＝297600.

当x＝

，即x＝40时，ｌ有最小值297600.

故当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.

[师]（巡视，欣赏，帮助个别学生解决）

［生16］用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行：

（留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤）

（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

（4）正确写出答案.

[师]同学们完成得很好！

我们继续看下面的问题：

[打出课件四§

6.2.2D通过学生探索、讨论，进一步加深对均值不等式的理解，而且激励学生参与或自主发现新知识，感受到知识的发生、发展的过程，并认识到“合情推理”是发明、发现新知识（学生变式思维和创新意识得到发展）的重要法宝]

[探究性学习——点击高考]

0，x>

0，y>

=1，求证：

[学生探索、讨论]巧用条件“1=

”的整体代入，变形后应用二元均值不等式.

[生17]（常见的错误解法）

由二元均值不等式，得

1=

即

所以x+y≥2

≥2·

=4

，故x+y≥4

显然上述证法中未出现（

）2，证法错了.

[师]谁勇敢地再来尝试一下呢？

[生18]（方法一）∵1=

∴x+y=（x+y）·

1=（x+y）（

）（巧用条件）

=a+b+

a+

b≥a+b+2

=（

即x+y≥（

[生19]（方法二）∵

=1，

∴设

=sin2θ，

=cos2θ（0<

θ<

），

则有x=acsc2θ，y=bsec2θ，

∴x+y=acsc2θ+bsec2θ（巧换元）

=a（1+cot2θ）+b（1+tan2θ