高中数学第一章导数及其应用章末优化总结优化练习Word格式文档下载.docx
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0,b>
0,∴a<
0,∴->
0,=->
0,故选A.
A
3.设函数f(x)=ax+3,若f′
(1)=3,则a等于( )
A.2B.-2
C.3D.-3
∵f′(x)=li
=li=a,
∴f′
(1)=a=3.
4.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的单调递增区间为( )
A.(-1,0)B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)D.(0,+∞)
f′(x)=2x-2-==,由f′(x)>0得x>2.
5.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( )
A.-37B.-29
C.-5D.-11
由f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)=0,解得x=0或x=2,又f(0)=m,f
(2)=m-8,
f(-2)=m-40,所以f(x)max=m=3,f(x)min=m-40=3-40=-37.
6.已知f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.B.
C.D.
∵f(x)=2cos2x+1=2+cos2x,x∈(0,π),
∴f′(x)=-2sin2x.
令f′(x)>
0,则sin2x<
0.
又x∈(0,π),∴0<
2x<
2π.
∴π<
2π,即<
x<
π.
7.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f
(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(1)
C.函数f(x)有极大值f
(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f
(2)
由图可知,当x<
-2时,f′(x)>
0;
当-2<
1时,f′(x)<
当1<
2时,f′(x)<
当x>
2时,
f′(x)>
0.由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值,选D.
D
8.由y=-x2与直线y=2x-3围成的图形的面积是( )
C.D.9
解得交点A(-3,-9),B(1,-1).
如图,由y=-x2与直线y=2x-3围成的图形的面积
S=-3(-x2)dx--3(2x-3)dx
=-x3-(x2-3x)=.
B
9.下列函数中,x=0是其极值点的函数是( )
A.f(x)=-x3B.f(x)=-cosx
C.f(x)=sinx-xD.f(x)=
对于A,f′(x)=-3x2≤0恒成立,在R上单调递减,没有极值点;
对于B,f′(x)=sinx,当x∈(-π,0)时,f′(x)<
0,当x∈(0,π)时,f′(x)>
0,故f(x)=-cosx在x=0的左侧区间(-π,0)内单调递减,在其右侧区间(0,π)内单调递增,所以x=0是f(x)的一个极小值点;
对于C,f′(x)=cosx-1≤0恒成立,在R上单调递减,没有极值点;
对于D,f(x)=在x=0没有定义,所以x=0不可能成为极值点,综上可知,答案选B.
10.已知函数f(x)=asinx-bcosx在x=时取得极值,则函数y=f(-x)是( )
A.偶函数且图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且图象关于点(,0)对称
C.奇函数且图象关于点(,0)对称
D.奇函数且图象关于点(π,0)对称
∵f(x)的图象关于x=对称,∴f(0)=
f(),∴-b=a,
∴f(x)=asinx-bcosx=asinx+acosx=asin(x+),
∴f(-x)=asin(-x+)=asin(π-x)=asinx.
显然f(-x)是奇函数且关于点(π,0)对称,故选D.
11.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f
(1)=2,且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<1(x∈R),则不等式f(x)<x+1的解集为( )
A.(1,+∞)
B.(-∞,-1)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
不等式f(x)<x+1可化为f(x)-x<1,
设g(x)=f(x)-x,
由题意g′(x)=f′(x)-1<0,g
(1)=f
(1)-1=1,故原不等式⇔g(x)<g
(1),故x>1.
12.函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为( )
在[-π,π]上,
∵f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=(1-cosx)
(-sinx)=-(1-cosx)sinx=-f(x),
∴f(x)是奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,排除B.
取x=,则f()=(1-cos)sin=1>0,排除A.
∵f(x)=(1-cosx)sinx,∴f′(x)=sinx·
sinx+(1-cosx)cosx
=1-cos2x+cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1.
令f′(x)=0,则cosx=1或cosx=-.
结合x∈[-π,π],求得f(x)在(0,π]上的极大值点为π,靠近π,选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中的横线上)
13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′
(1)=________.
令ex=t,则x=lnt,所以f(x)=lnx+x,即
f′(x)=1+,则f′
(1)=1+1=2.
2
14.曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为________.
因为y=e-5x+2,所以y′=-5e-5x,所求切线的斜率为k=y′|x=0=-5e0=-5,故所求切线的方程为y-3=-5(x-0),即y=-5x+3或5x+y-3=0.
y=-5x+3或5x+y-3=0
15.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)上单调递增,则实数m的取值范围是________.
f′(x)=,令f′(x)>
0,得-1<
1,即函数f(x)的增区间为(-1,1).
又f(x)在(m,2m+1)上单调递增,所以解得-1<
m≤0.
(-1,0]
16.周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为_______.
设矩形的长为x,则宽为10-x(0<
10),由题意可知所求圆柱的体积
V=πx2(10-x)=10πx2-πx3,∴V′(x)=20πx-3πx2.
由V′(x)=0得x=0(舍去),x=,且当x∈(0,)时,V′(x)>
0,当x∈(,10)时,V′(x)<
0,
∴当x=时,V(x)取得最大值为πcm3.
πcm3
三、解答题(本大题共有6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)求曲线y=x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.
因为f′(3)=li=27,所以在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x-3),即y=27x-54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,-54).
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×
2×
54=54.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f′(0)=4.故b=4,a+b=8.
从而a=4,b=4.
(2)由
(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)(ex-).
令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间(-2,1)内x=-1时取极小值,x=时取极大值.
(1)求函数y=f(x)在x=-2时的对应点的切线方程;
(2)求函数y=f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值.
(1)f′(x)=-3x2+2ax+b.
又x=-1,x=分别对应函数取得极小值、极大值,
所以-1,为方程-3x2+2ax+b=0的两个根.
所以a=-1+,-=(-1)×
.
于是a=-,b=2,则f(x)=-x3-x2+2x.
当x=-2时,f(-2)=2,即(-2,2)在曲线上.
又切线斜率为k=f′(-2)=-8,所求切线方程为y-2=-8(x+2),
即为8x+y+14=0.
(2)当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,)
(,1)
1
f′(x)
-
+
f(x)
则f(x)在[-2,1]上的最大值为2,最小值为-.
20.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=3x2-3x,直线l1:
x=2和l2:
y=3tx(其中t为常数,且0<
t<
1),直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1、l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图所示,设这两个阴影区域的面积之和为S(t).
(1)求函数S(t)的解析式;
(2)定义函数h(x)=S(x),x∈R.若过点A(1,m)(m≠4)可作曲线y=h(x)(x∈R)的三条切线,求实数m的取值范围.
(1)由得x2-(t+1)x=0,
所以x1=0,x2=t+1.
所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0,t+1.
因为0<
1,所以1<
t+1<
2.
所以S(t)=[3tx-(3x2-3x)]dx+[(3x2-3x)-3tx]dx
=+
=(t+1)3-6t+2.
(2)依据定义,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R,则
h′(x)=3(x+1)2-6.
因为m≠4,则点A(1,m)不在曲线y=h(x)上.
过点A作曲线y=h(x)的切线,设切点为M(x0,y0),
则切线方程为