抽象函数奇偶性的判定docWord下载.docx
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A.增函数且最小值为一5B.增函数且最大值为一5
C.减函数且最小值为一5D.减函数且最大值为一5
分析：
画出满足题意的示意图，易知选B。
例2.偶函数/（兀）在（0,+00）上是减函数，问/（兀）在（-00,0）上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
如图所示，易知/（兀）在（-8,0）上是增函数，证明如下：
任取X]<
x2<
0=>
-x{>
-x2>
0个y
J
因为/（X）在（0，+00）上是减函数，所以/（-%!
）<
/（-^）o>
OX
又/（X）是偶函数，所以/（—州）=/（坷），/（—勺）=/（花），
从而/（xI）<
/（x2）,故/（兀）在（-00,0）上是增函数。
2.判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求/（兀）与/（-x）的关系。
例3.若函数y=/（x）（/（x）0）与y=-/（x）的图象关于原点对称,判断：
函数
y=/（x）是什么函数。
解：
设y=fW图象上任意一点为P（兀（），旳）•/y=f（x）与y=—/（x）的图象关于原点对
称，/.P（x0,A。
）关于原点的对称点（一兀0，-歹0）在『=-f（x）的图象上，
-刃）=_/（_xo）
•••凡=/（_兀。
）
又y0=于（兀°
）•••于（-兀°
）=/（兀。
即对于函数定义域上的任意X都有/（-X）=/（X）,所以y=/（X）是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性
1.证明单调性
例4・已知/（切对一切x,y,满足/（0）工0,/（x+y）=/（x）・/（y）,且当兀<
0吋,
/（x）>
1,求证：
（1）无>
0时，0<
/（兀）<
1；
（2）/（兀）在R上为减函数。
证明：
•・•对一切x,ywR有f（x+y）=f（x）•f（y）。
且/（0）工0,令x=y=0f得/（0）=1,
现设兀>
0,则一兀<
0,f（-x）>
1,而/（0）=/（x）-f（-x）=1
•••心）=爲>
1
/.0<
f（x）<
1,
设兀］,丘尺且码V
x2,则0vf（x2-xj<
/（^2）=/［（兀2一兀］）+西］=f匕2一XJ•/（E）<
/（E）
・•・/（兀J>
/（兀2），
2.证明奇偶性
即/（-V）为减函数。
例5.已知于⑴的定义域为R,且对任意实数X,y满足f（xy）=f（x）+f（y）,求证：
/（兀）是偶函数。
在/（与）=/（“）+/（y）中’令x=y=\f
W/（l）=/（l）+/（l）=>
/（l）=0
令x=y=-\,得/（I）=/（-I）+/（-I）=>
/（-I）=0
于是/（一兀）=/（-I•Q=/（一1）+/U）=/（x）故/（x）是偶函数。
三、求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增
减性，去掉符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例6.已知/（兀）是定义在（一1,1）上的偶函数，且在（0,1）上为增函数，满足f（a-2）-/（4-6/2）<
0,试确定。
的取值范围。
•・•/*&
）是偶函数，且在（0,1）±
是增函数，/./（x）在（―1,0）上是减函数，
1V。
—2vlI—/—
由｛?
得V3<
«
<
V5o
[j<
4-/vi
（1）当a=2吋，/@一2）=/（4-/）=/（0）,不等式不成立。
2）当y[3<
a<
2时，
/（g-2）v/（4-/）
-\<
a-2<
=f（a2-4）o<
_[v/_4v0
a-2>
a2-4
解之得，V3<
6r<
2
（3）当2<
yf5时，/（a—2）<
/（4—亍）
0<
a-2<
\
=f（a2-4）<
=>
0<
a2-4<
1
a2-4
■
解之得，2<
^5
综上所述，所求d的取值范围是（JL2）U（2,V5）o
四、不等式
1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去
掉函数符号“/”，转化为代数不等式求解。
例7•已知函数/（兀）对任意兀,ywR有f（x）+f（y）=24-f（x4-y）,当兀>
0时，/（兀）>
2,
/（3）=5,求不等式f（a2-2a-2）<
3的解集。
设x2g/?
且兀］ex?
则兀2—兀］>
0f（x2-X））>
2,
即f（x2-x,）-2>
0,
f（x2）=f［（x2+
=/（兀2-山）+/（"
）-2>
/（x（）
・•・/（兀2）>
/（兀1）
故/（兀）为增函数，
又/（3）=f（2+1）=/
（2）+/
（1）-2=3/
（1）-4=5
・•・/
（1）=3
・•・fQci?
—2c—2）v3=
艮卩—2d—2v1
.*.—1ci3
因此不等式f（a2-2a-2）<
3的解集为{a\-l<
3}0
2.讨论不等式的解
求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
例8,.已知/（Q是定义在［-1,1］上的奇函数，若«
/7g［-1,1］,且a+h^0时，恒有、/（。
）十./0）>
o.
（1）判断/（兀）在［_1」］上是增函数还是减函数，并证明你的结论；
a+b
（2）解不等式/（5x-l）<
/（6x2）
五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
例9,已知函数/（x）是定义域为R的偶函数，兀<
0时，/（无）是增函数，若X,<
0,x2>
且kj<
|x2|,则/（-Xj）,f{-X2）的大小关系是。
VX）<
0,兀2>
0且1兀11<
1兀2，/.0<
-XI<
x2=>
-X2<
Xj<
又xvO吋，于（劝是增函数，
••・/（—兀2）V/（K）•・•/（X）是偶函数.-./（-X1）=/（x1）
故/（一禹）>
/（一兀2）1・对于定义在R上的函数/（X）,给出三个命题：
（1）若f（-2）=f
（2）,则/（兀）是偶函数;
（2）若/（・2）工/⑵,则/（兀）不是偶函数；
（3）若/（-2）=/
（2）,则/（兀）一定不是奇函数.其中正确命题的序号为
2.下列命题中，说法正确的是
（1）若定义在R上的函数/（兀）满足/
（2）>
/⑴，则函数/（兀）是R上的单调增函数；
（2）若定义在上的函数于（力满足/
（2）>
/（I）,则函数/（x）不是/?
上的单调减函数；
（3）若定义在/?
上的函数/（兀）在区间（-oo,0］上是单调增函数，在区间［0,+oo）上也是单
调增函数，则函数/（兀）是/?
上的单调增函数；
（4）若定义在/?
上的函数/（兀）在区间（-8,0］上是单调增幣数，在区间（0,+oo）上也是单
调增函数，则函数/（X）是R上的单调增函数；
变式：
若定义在R上的函数对任意的xpx2g/?
都有/（x1+x2）=/（x1）+/（x2）4-2成立，且当兀>
0时，f（x）>
-2.
（1）求证：
f（x）+2是奇函数；
（2）求证：
/（兀）是7?
上的增函数;
函数y=f（x）,满足Vxrx2eR都有f（xi+x2）=f（xi）+f（x2）-3,
（1）判断函数f（x）-3的奇偶
性并予以证明⑵若f（x）最大值为M,最小值为ni,求M+m
分析;
恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m
解析；
令=x2=0,则f（0+0）=f（0）+f（0）-3得/（0）=3,令x.=x,x2=一兀则f（x-x）=f（x）+f（-x）-3得f（x）+f（-x）=6,令g（x）=/（x）-3则g（-x）=/（-兀）一3=3-/（x）=一&
（兀）所以f（x）-3为奇函数。
⑵g（x）niax=A/-3,£
&
）価=加一3,vg（x）为奇函数图像关于原点对称
vA/-3=^（x0）,加一3=&
（—兀）所以M+加=6
点评：
奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f（x）+f（・x）=6是关键
2,函数y=f（x）,满足a.beR,f（ab）=af（b）+bf（a）,
（1）求/（0）,/
（1）的值，⑵判断并证明f（x）的奇偶性
令a=b=0y则/（0）=0,令a=h=I则/（l）=0
（2）/（l）=/[（-l）x（-l）]
=（-l）x/（-1）+（-l）x/（-1）=-2/（-1）得/（-1）=0再令
a=-l,b=x^/（-x）=（-1）x/（%）4-x•/（-1）=-/（x）,所以f（x）为奇函数
点评:
要判断f（x）的奇偶性必先求出/（-1）,而把1写成（-l）x（-l）是关键
3,定义在R上的函数）yf（x）满足/（2-兀）=/（2+劝，且在[0,7]上只有
/（I）=/（3）=0,判断f（x）的奇偶性并说明理由
・・•f（x）在[0,7]上只有/（I）=/（3）=0令x=3则/（-1）=/（2-3）=/（2+3）=/⑸工0所以/（-I）工/
（1）,/（—1）丰-/
（1）所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数。
判定一个命题不成立，只需举出反例即可。
4,已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件/（%+号）=—/（兀），且函数y=/（x-|）是奇
函数，判断y=f（x）的奇偶性并说明理由
因为尸—弓）是奇函数，所以/（-x-|）=用兀替代得
/（-x~i）=~/（兀）又f（x+号）=一/（x）/（-兀—咅）=f（x+号）=/（—兀）=/（兀）所以f（x）为偶函数
5,定义在R上的函数），=f（x）满足:
/
（1）=+，4/（x）/（,y）=f（x+y）+f（x-y\x,ywR）判断y=f（x）的奇偶性并说明理由
令兀
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