1、A.增函数且最小值为一5 B.增函数且最大值为一5C.减函数且最小值为一5 D.减函数且最大值为一5分析:画出满足题意的示意图,易知选B。例2.偶函数/(兀)在(0, +00)上是减函数,问/(兀)在(-00, 0)上是增函数还是减函数,并证 明你的结论。如图所示,易知/(兀)在(-8, 0)上是增函数,证明如下:任取X x2 -x -x2 0 个yJ因为/(X)在(0,+00)上是减函数,所以/(-%!)O X又/(X)是偶函数,所以/(州)=/(坷),/(勺)=/(花),从而/(xI)/(x2),故/(兀)在(-00, 0)上是增函数。2.判断奇偶性根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求/
2、(兀)与/(-x)的关系。例3.若函数y = /(x)(/(x) 0)与y = -/(x)的图象关于原点对称,判断:函数y = /(x)是什么函数。解:设y = fW图象上任意一点为P(兀(),旳)/y = f(x)与y = /(x)的图象关于原点对称,/. P(x0, A。)关于原点的对称点(一兀0,-歹0)在=-f(x)的图象上,-刃)=_/(_xo)凡=/(_兀。)又y0 =于(兀) 于(-兀)= /(兀。即对于函数定义域上的任意X都有/(-X)= /(X),所以y = /(X)是偶函数。二、证明单调性和奇偶性1. 证明单调性例4已知/(切对一切x, y,满足/(0)工0, /(x +
3、y) = /(x)/(y),且当兀 1,求证:(1)无0时,0/(兀)0,则一兀 1,而 /(0) = /(x) - f (-x) = 1心)=爲 1/. 0 f(x) 1,设兀,丘尺且码Vx2,则 0 v f(x2 -xj /(2)= /(兀2 一兀)+ 西=f 匕2 一 X J /(E)/(兀2),2.证明奇偶性即/(-V)为减函数。例5.已知于的定义域为R,且对任意实数X, y满足f(xy) = f(x) + f(y),求证:/(兀)是 偶函数。在 /(与) = /(“) +/(y)中令 x = y=fW/(l) = /(l) + /(l)=/(l) = 0令x=y = -,得/(I)
4、= /(-I) + /(-I) =/(-I) = 0于是 /(一兀)=/(-I Q = /(一1) + /U) = /(x) 故/(x)是偶函数。三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性,去掉符号,转化为代数不等式组求解,但要特别注意函数定义域的作用。例6.已知/(兀)是定义在(一1, 1 )上的偶函数,且在(0, 1)上为增函数,满足 f(a-2)-/(4-6/2)0,试确定。的取值范围。/*&)是偶函数,且在(0, 1) 是增函数, /. /(x)在(1, 0)上是减函数,1 V。 2vl I /由 ?得V3V5 oj4-/ vi(1
5、) 当a = 2吋, /一2) = /(4-/)= /(0),不等式不成立。2)当 y3a2 时,/(g-2)v/(4-/)- a-2 =f(a2 -4) o a2 -4解之得,V3 6r2(3)当2yf5 时, /(a 2) /(4 亍)0a-2=f(a2 -4) 0a2 -4 1a2 -4解之得,20时,/(兀) 2,/(3) = 5,求不等式f(a2-2a-2)0 f(x2 -X) 2 ,即 f(x2 -x,)-20,f(x2) = f(x2 +=/(兀2 - 山)+ /( ) - 2 /(x()/(兀2)/(兀1)故/(兀)为增函数,又 /(3) = f(2 + 1) = /(2) +
6、 /(1)-2 = 3/(1)-4 = 5 / (1) = 3 fQci? 2c 2) v 3 =艮卩 2d 2 v 1.*. 1 ci 3因此不等式f(a2-2a-2)3的解集为a-l o. (1)判断/(兀)在_1上是增函数还是减函数,并证明你的结论; a + b(2) 解不等式/(5x-l)/(6x2)五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内, 然后利用其单调性使问题获解。例9,已知函数/(x)是定义域为R的偶函数,兀0时,/(无)是增函数,若X, 且kj|x2| ,则/(-Xj ) , f-X2 )的大小关系是 。VX)0且 1兀111 兀2,
7、/.0-XI -X2 Xj /(一兀2)1对于定义在R上的函数/(X),给出三个命题:(1)若f(-2) = f(2),则/(兀)是偶函数;(2)若/(2)工/,则/(兀)不是偶函数;(3)若/(-2) = /(2),则/(兀)一定不是奇函数.其中正确命题的序号为 2. 下列命题中,说法正确的是 (1) 若定义在R上的函数/(兀)满足/(2) /,则函数/(兀)是R上的单调增函数;(2) 若定义在上的函数于(力满足/(2) /(I),则函数/(x)不是/?上的单调减函数;(3) 若定义在/?上的函数/(兀)在区间(-oo,0上是单调增函数,在区间0,+oo)上也是单调增函数,则函数/(兀)是/
8、?上的单调增函数;(4) 若定义在/?上的函数/(兀)在区间(-8,0上是单调增幣数,在区间(0,+oo)上也是单调增函数,则函数/(X)是R上的单调增函数;变式:若定义在R上的函数对任意的xpx2 g/?都有/(x1+x2) = /(x1) + /(x2)4-2成立,且 当兀0时,f(x)-2. (1)求证:f(x) + 2是奇函数;(2)求证:/(兀)是7?上的增函数;函数 y = f (x),满足 Vxrx2 e R 都有 f (xi+x2)= f (xi)+ f (x2)-3, (1)判断函数 f (x)-3 的奇偶性并予以证明 若f(x)最大值为M,最小值为ni,求M+m分析;恰当赋
9、值,用定义可证奇偶性,应用奇偶性可求M+m解析;令=x2 =0,则 f(0+0)= f(0)+ f(0)-3 得 /(0)= 3 ,令x. =x,x2 = 一兀则 f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3 得 f(x)+ f(-x)=6,令 g(x) = /(x)- 3 则 g(- x) = /(-兀)一 3 = 3 - /(x) = 一&(兀)所以 f(x)-3 为奇 函数。g (x)niax = A/ - 3 , &)価=加一 3, v g(x)为奇函数图像关于原点对称vA/-3 = (x0),加一3 = &(兀)所以M + 加=6点评:奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法,恰当赋值
10、找出f(x)+f(x)=6是关键2, 函数 y = f(x),满足 a.beR, f(ab) = af(b) + bf(a), (1)求 /(0),/(1)的值,判断并证 明f(x)的奇偶性令a = b = 0y 则/(0)= 0,令a = h = I 则 /(l) = 0(2)/(l) = /(-l)x(-l)= (-l)x /(-1) + (- l)x /(-1) = -2/(-1) 得 /(-1) = 0 再 令a = -l,b = x /(-x) = (-1)x /(%)4-x /(-1) = -/(x),所以 f(x)为奇函数点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出/(-1),而把1写成
11、(-l)x(-l)是关键3, 定义在R上的函数)y f(x)满足/(2-兀)=/(2 +劝,且在0,7上只有/(I) = /(3) = 0 ,判断f(x)的奇偶性并说明理由 f(x)在 0,7 上只有 /(I) = /(3) = 0 令 x = 3 则 /(-1) = /(2-3)= /(2 + 3)= /工 0 所以 /(- I)工 /(1), /( 1)丰-/(1)所以 f(x)既不是奇 函数也不是偶函数。判定一个命题不成立,只需举出反例即可。4, 已知定义在R上的函数y =f(x)满足条件/(% +号) = /(兀),且函数y = /(x-|)是奇函数,判断y = f(x)的奇偶性并说明理由因为 尸 弓)是奇函数,所以/(-x-|)= 用兀替代得/(-xi)= /(兀)又 f(x+号)=一/(x) /(-兀咅)=f(x+号)=/(兀)=/(兀)所以 f(x) 为偶函数5, 定义在R上的函数),=f(x)满足:/(1) = +,4/(x)/(,y) = f(x + y) + f(x-yx,ywR) 判断y = f(x)的奇偶性并说明理由令兀
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