届全国普通高中模拟卷文科数学试题一文档格式.docx
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6．已知函数，则函数的大致图象是（）
A．B．
C．D．
7．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：
一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）
A．小寒比大寒的晷长长一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长长
8．中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第题为：
“今有勾八步，股十五步，间勾中容圆，径几何？
”意思是“直角三角形的两条直角边分别为和，则其内切圆直径是多少？
”若向上述直角三角形内随机抛掷颗米粒（大小忽略不计，取），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（）
9．已知抛物线的焦点为圆的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°
的直线交抛物线C于A、B两点，则（）
A．12B．14C．16D．18
10．已知向量，，对任意恒有，则（）
A．B．
C．D．
11．已知四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，，若四棱锥外接球的体积为，则该四棱锥的表面积为（）
12．已知函数，若有2个零点，则的取值范围是（）
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分．
13．正实数，满足：
，则当取最小值时，________．
14．已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为___________．
15．设函数，若对，不等式成立，则实数的取值范围是_________．
16．在中，，，，分别为角，，的对边，且．若的内切圆面积为，则面积的最小值_______．
三、解答题：
本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列的前项和为，若（），且的最大值为25．
（1）求的值及通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（12分）在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数（单位：
个）有如下统计表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
6
学生人数y（个）
66
67
70
71
72
74
（1）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程；
（2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数（结果保留整数）．
附：
对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
（参考数据：
）．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点．
（1）证明：
平面；
（2）若，求点到平面的距离．
20．（12分）已知椭圆的两焦点为，，点在椭圆上，且的面积最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆的右顶点，若不平行于坐标轴的直线与椭圆相交于两点（均不是椭圆的右顶点），且满足，求证：
直线过定点，并求出该定点的坐标．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）
【选修4-4：
坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．
（1）将的参数方程化为普通方程，的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求与直线平行且与曲线相切的直线的直角坐标方程．
23．（10分）
【选修4-5：
不等式选讲】
已知函数．
（1）若关于x的方程有两个不同的实数根，求a的取值范围；
（2）如果不等式的解集非空，求的取值范围．
文科数学答案
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】B
12．【答案】C
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】
（1），（）；
（2）．
【解析】
（1）由题可得，，
所以当为偶数时，，解得；
当为奇数时，，此时无整数解，
综上可得：
，．
①时，．
②当时，，
当时也成立．
综上可得，
所以，（）．
（2），
①②
两式相减得，
，
则，则．
18．【答案】
（1）；
（1）由题意，，，
，，
∴关于的线性回归方程为．
（2）由
（1）可知，当年份为2021年时，年份代码，此时，
保留整数为人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为人．
19．【答案】
（1）证明见解析；
（1）设，连接，
由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则为的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）连接，由
（1）知平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为底面是等边三角形，是的中点，所以，
因为，所以，则，
从而的面积为，
故三棱锥的体积为，
由直棱柱的性质可知平面平面，则平面，
因为平面，所以，
又，所以的面积为，
设点到平面的距离为，则，解得，
故点到平面的距离为．
20．【答案】
（2）证明见解析，定点坐标为．
（1）由椭圆的对称性可知：
当点落在椭圆的短轴的两个端点时，的面积最大，此时，解得，
由，得，
椭圆的标准方程为．
（2）设，，直线的方程为，
联立，得，
则，即，
．
椭圆的右顶点为，，，
，即，
整理可得，
解得，，（，均满足）．
当时，的方程为，直线过右顶点，与已知矛盾；
当时，的方程为，过定点，
直线过定点，定点坐标为．
21．【答案】
（1）极小值0，无极大值；
（1）当时，，所以．
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，无极大值．
（2）因为在上恒成立，
所以在上恒成立．
当时，恒成立，此时；
当时，在上恒成立．
令，则．
由
（1）知时，，即．
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是．
22．【答案】
（1），；
（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
所以，消去，得．
因为直线的极坐标方程为，
所以，
即，所以．
（2）设切线方程为，由，
得，
所以，解得，
所以切线方程是．
23．【答案】
（2）或．
（1），
当时，函数单调递增，并且；
当时，函数单调递减，并且，
综上：
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，且．
作出的图象如图所示：
要使关于x的方程有两个不同的根，
则a的取值范围．
（2）因为，记点，坐标原点为，则直线的斜率为．
当直线与平行时，无交点，
所以当或时，该直线与函数的图象相交．
因为不等式的解集非空，
所以的取值范围是或．
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