第一章 三角函数单元总结人教A版解析版Word文档下载推荐.docx

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x<

（k∈Z）.

故所求函数的定义域为

.

[再练一题]

1.求函数f（x）＝

＋

的定义域.

【答案】要使函数f（x）有意义，则

如图所示，结合三角函数线知

∴2k¦

2k¦

故f（x）的定义域为

类型二：

三角函数的最值问题

三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；

二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法.

例2、求函数f（x）＝cos2x＋sinx＋1

的最小值.

【精彩点拨】　本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sinx的二次函数，然后再求最小值.

【答案】　f（x）＝cos2x＋sinx＋1＝1－sin2x＋sinx＋1

＝－sin2x＋sinx＋2＝－

2＋

，

又－

x¡

，所以－

sinx¡

故当sinx＝－

时，f（x）取最小值

2.求函数y＝cos2x－sinx，x∈

的值域.

【答案】y＝－sin2x－sinx＋1，令t＝sinx.

∵x∈

，∴t∈

原函数可化为y＝－t2－t＋1＝－

∴当t＝－

时，有ymax＝

；

当t＝

时，有ymin＝

故原函数值域为

类型三：

三角函数的图象及变换

三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.

例3、如图1-1是函数y＝Asin（¦

Ø

x＋¦

Õ

）＋k

的一段图象.

图1-1

（1）求此函数解析式；

（2）分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？

【精彩点拨】　

（1）先确定A，k，再根据周期求¦

，最后确定¦

（2）可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移.

【答案】

（1）由图象知A＝

＝

k＝

＝－1，T＝2×

＝¦

∴¦

＝2，∴y＝

sin（2x＋¦

）－1.

当x＝

时，2×

＋¦

，∴¦

∴所求函数解析式为y＝

sin

－1.

（2）把y＝sinx向左平移

个单位得到y＝sin

，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的

，得到y＝sin

，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的

得到y＝

最后把函数y＝

的图象向下平移1个单位，得到y＝

－1的图象.

3.已知函数y＝

cosx＋

|cosx|.

（1）画出函数的简图；

（2）这个函数是周期函数吗？

如果是，求出它的最小正周期；

（3）指出这个函数的单调增区间.

（1）y＝

|cosx|

函数图象如图所示.

（2）该函数是周期函数，且由图象可知函数的最小正周期是2π.

（3）由图象可知函数的单调增区间为

类型四：

三角函数的性质

三角函数的性质，重点应掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin（¦

），y＝Acos（¦

）及y＝Atan（¦

）的相关性质.在研究其相关性质时，将¦

看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.

例4、已知函数f（x）＝2sin

＋a＋1（其中a为常数）.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若x∈

时，f（x）的最大值为4，求a的值；

（3）求f（x）取最大值时x的取值集合.

【精彩点拨】　

（1）将2x＋

看成一个整体，利用y＝sinx的单调区间求解.

（2）先求x∈

时2x＋

的范围，再根据最值求a的值.

（3）先求f（x）取最大值时2x＋

的值，再求x的值.

（1）由－

2x＋

，k∈Z，解得－

＋k¦

，k∈Z，

∴函数f（x）的单调增区间为

（k∈Z），

由

∴函数f（x）的单调减区间为

（2）∵0¡

，∴

∴－

1，

∴f（x）的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.

（3）当f（x）取最大值时，2x＋

∴2x＝

，∴x＝

∴当f（x）取最大值时，x的取值集合是

4.已知函数f（x）＝（sinx＋cosx）2＋cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间

上的最大值和最小值.

【答案】　

（1）因为f（x）＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝

＋1，

所以函数f（x）的最小正周期为T＝

（2）由

（1）的计算结果知，f（x）＝

＋1.

当x∈

时，2x＋

∈

由正弦函数y＝sinx在

上的图象知，

当2x＋

，即x＝

时，f（x）取得最大值

＋1；

时，f（x）取得最小值0.

综上，f（x）在

上的最大值为

＋1，最小值为0.

类型五：

数形结合思想

数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考，使抽象思维和形象思维结合，通过¡

°

以形助数¡

±

和¡

以数解形¡

使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.¡

是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.¡

是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见¡

数形结合¡

思想的身影.

例5、函数y＝

的最小值为________，最大值为________.

【精彩点拨】　根据题目特征，构造符合题意图形，运用¡

思想往往可以很简捷地解决问题.

【答案】　

【规范解答】　如图所示，

y＝

可看做定点A（3,2）与动点B（－cosx，sinx）连线的斜率，而动点（－cosx，sinx）是单位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B连线的斜率的最值问题.根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，解得ymin＝

，ymax＝

5.求函数y＝

【答案】将y＝

看成是单位圆上的点（cosx，sinx）到点（2，－1）的斜率，即求斜率的范围.如图所示，由解析几何知识可求得过点（2，－1），且与单位圆有交点的直线的斜率k∈

，即y∈

类型六：

转化与化归的思想

化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；

在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin（¦

）化归为简单的y＝sinx来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法.

例6、求函数y＝

的单调区间.

【精彩点拨】　求三角函数y＝Asin（¦

）的单调区间，需先保证x的系数为正值，如果¦

<

0，那么应先进行转化，将x的系数化为正数，再求解.

【答案】将原函数化为y＝－

由2k¦

－

x－

得3k¦

¦

3k¦

此时函数单调递减；

此时函数单调递增.

故原函数的单调递减区间为

单调递增区间为

6.求函数y＝2sin

的单调递增区间.

【答案】y＝2sin

＝－2sin

令z＝x－

，则y＝－2sinz.

∵z是x的一次函数，∴要取y＝－2sinz的递增区间，

即取sinz的递减区间，

即2k¦

z¡

∴函数y＝2sin

的递增区间为

三、真题检测

1.将函数y＝2sin

的图象向右平移

个周期后，所得图象对应的函数为（　　）

A.y＝2sin

　　B.y＝2sin

C.y＝2sin

D.y＝2sin

【答案】　D

【解析】　函数y＝2sin

的周期为¦

，将函数y＝2sin

个周期即

个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin

＝2sin

，故选D.

2.函数y＝Asin（¦

）的部分图象如图1-2所示，则（　　）

图1-2

B.y＝2sin

D.y＝2sin

【答案】　A

【解析】　由图象知

，故T＝¦

，因此¦

＝2.又图象的一个最高点坐标为

，所以A＝2，且2×

＝2k¦

（k¡

Ê

Z），故¦

Z），结合选项可知y＝2sin

.故选A.

3.函数f（x）＝cos（¦

）的部分图象如图1-3所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）

图1-3

A.

，k¡

Z

B.

C.

D.

【解析】　由图象知，周期T＝2

＝2，

à

＝2，¡

由¦

Á

Z，不妨取¦

f（x）＝cos

πx＋

，得2k－

2k＋

Z，

f（x）的单调递减区间为

Z.故选D.

4.设函数f（x）（x¡

R）满足f（x＋¦

）＝f（x）＋sinx.当0¡

π时，f（x）＝0，则f

＝（　　）

　　　　B.

C.0D.－

【解析】　¡

ß

f（x＋¦

）＝f（x）＋sinx，

f（x＋2π）＝f（x＋¦

）－sinx.

f（x＋2π）＝f（x）＋sinx－sinx＝f（x）.

f（x）是以2π为周期的周期函数.

又f

＝f

f

＋sin

当0¡

π时，f（x）＝0，¡

＝0，