第一章 三角函数单元总结人教A版解析版Word文档下载推荐.docx
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x<
(k∈Z).
故所求函数的定义域为
.
[再练一题]
1.求函数f(x)=
+
的定义域.
【答案】要使函数f(x)有意义,则
如图所示,结合三角函数线知
∴2k¦
2k¦
故f(x)的定义域为
类型二:
三角函数的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用,它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起,有一定的综合性.在求解时,一要注意三角函数式的变形方向;
二要注意正弦、余弦函数本身的有界性,还要注意灵活运用方法.
例2、求函数f(x)=cos2x+sinx+1
的最小值.
【精彩点拨】 本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sinx的二次函数,然后再求最小值.
【答案】 f(x)=cos2x+sinx+1=1-sin2x+sinx+1
=-sin2x+sinx+2=-
2+
,
又-
x¡
,所以-
sinx¡
故当sinx=-
时,f(x)取最小值
2.求函数y=cos2x-sinx,x∈
的值域.
【答案】y=-sin2x-sinx+1,令t=sinx.
∵x∈
,∴t∈
原函数可化为y=-t2-t+1=-
∴当t=-
时,有ymax=
;
当t=
时,有ymin=
故原函数值域为
类型三:
三角函数的图象及变换
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中,主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定,以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
例3、如图1-1是函数y=Asin(¦
Ø
x+¦
Õ
)+k
的一段图象.
图1-1
(1)求此函数解析式;
(2)分析一下该函数是如何通过y=sinx变换得来的?
【精彩点拨】
(1)先确定A,k,再根据周期求¦
,最后确定¦
(2)可先平移再伸缩,也可先伸缩再平移.
【答案】
(1)由图象知A=
=
k=
=-1,T=2×
=¦
∴¦
=2,∴y=
sin(2x+¦
)-1.
当x=
时,2×
+¦
,∴¦
∴所求函数解析式为y=
sin
-1.
(2)把y=sinx向左平移
个单位得到y=sin
,然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的
,得到y=sin
,再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的
得到y=
最后把函数y=
的图象向下平移1个单位,得到y=
-1的图象.
3.已知函数y=
cosx+
|cosx|.
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?
如果是,求出它的最小正周期;
(3)指出这个函数的单调增区间.
(1)y=
|cosx|
函数图象如图所示.
(2)该函数是周期函数,且由图象可知函数的最小正周期是2π.
(3)由图象可知函数的单调增区间为
类型四:
三角函数的性质
三角函数的性质,重点应掌握y=sinx,y=cosx,y=tanx的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质,在此基础上掌握函数y=Asin(¦
),y=Acos(¦
)及y=Atan(¦
)的相关性质.在研究其相关性质时,将¦
看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧.
例4、已知函数f(x)=2sin
+a+1(其中a为常数).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若x∈
时,f(x)的最大值为4,求a的值;
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合.
【精彩点拨】
(1)将2x+
看成一个整体,利用y=sinx的单调区间求解.
(2)先求x∈
时2x+
的范围,再根据最值求a的值.
(3)先求f(x)取最大值时2x+
的值,再求x的值.
(1)由-
2x+
,k∈Z,解得-
+k¦
,k∈Z,
∴函数f(x)的单调增区间为
(k∈Z),
由
∴函数f(x)的单调减区间为
(2)∵0¡
,∴
∴-
1,
∴f(x)的最大值为2+a+1=4,∴a=1.
(3)当f(x)取最大值时,2x+
∴2x=
,∴x=
∴当f(x)取最大值时,x的取值集合是
4.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间
上的最大值和最小值.
【答案】
(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=
+1,
所以函数f(x)的最小正周期为T=
(2)由
(1)的计算结果知,f(x)=
+1.
当x∈
时,2x+
∈
由正弦函数y=sinx在
上的图象知,
当2x+
,即x=
时,f(x)取得最大值
+1;
时,f(x)取得最小值0.
综上,f(x)在
上的最大值为
+1,最小值为0.
类型五:
数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考,使抽象思维和形象思维结合,通过¡
°
以形助数¡
±
和¡
以数解形¡
使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而起到优化解题过程的目的.¡
是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.¡
是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何背景,因此,在本章中,处处可见¡
数形结合¡
思想的身影.
例5、函数y=
的最小值为________,最大值为________.
【精彩点拨】 根据题目特征,构造符合题意图形,运用¡
思想往往可以很简捷地解决问题.
【答案】
【规范解答】 如图所示,
y=
可看做定点A(3,2)与动点B(-cosx,sinx)连线的斜率,而动点(-cosx,sinx)是单位圆上点,故问题转化为定点与单位圆上点B连线的斜率的最值问题.根据数形结合不难得知,当连线与圆相切时,斜率取最值,解得ymin=
,ymax=
5.求函数y=
【答案】将y=
看成是单位圆上的点(cosx,sinx)到点(2,-1)的斜率,即求斜率的范围.如图所示,由解析几何知识可求得过点(2,-1),且与单位圆有交点的直线的斜率k∈
,即y∈
类型六:
转化与化归的思想
化归思想贯穿本章的始终,在三角函数的恒等变形中,同角关系式和诱导公式常化繁为简,化异为同,弦切互化;
在研究三角函数的图象与性质时,常把函数y=Asin(¦
)化归为简单的y=sinx来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法.
例6、求函数y=
的单调区间.
【精彩点拨】 求三角函数y=Asin(¦
)的单调区间,需先保证x的系数为正值,如果¦
<
0,那么应先进行转化,将x的系数化为正数,再求解.
【答案】将原函数化为y=-
由2k¦
-
x-
得3k¦
¦
3k¦
此时函数单调递减;
此时函数单调递增.
故原函数的单调递减区间为
单调递增区间为
6.求函数y=2sin
的单调递增区间.
【答案】y=2sin
=-2sin
令z=x-
,则y=-2sinz.
∵z是x的一次函数,∴要取y=-2sinz的递增区间,
即取sinz的递减区间,
即2k¦
z¡
∴函数y=2sin
的递增区间为
三、真题检测
1.将函数y=2sin
的图象向右平移
个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
【答案】 D
【解析】 函数y=2sin
的周期为¦
,将函数y=2sin
个周期即
个单位长度,所得图象对应的函数为y=2sin
=2sin
,故选D.
2.函数y=Asin(¦
)的部分图象如图1-2所示,则( )
图1-2
B.y=2sin
D.y=2sin
【答案】 A
【解析】 由图象知
,故T=¦
,因此¦
=2.又图象的一个最高点坐标为
,所以A=2,且2×
=2k¦
(k¡
Ê
Z),故¦
Z),结合选项可知y=2sin
.故选A.
3.函数f(x)=cos(¦
)的部分图象如图1-3所示,则f(x)的单调递减区间为( )
图1-3
A.
,k¡
Z
B.
C.
D.
【解析】 由图象知,周期T=2
=2,
à
=2,¡
由¦
Á
Z,不妨取¦
f(x)=cos
πx+
,得2k-
2k+
Z,
f(x)的单调递减区间为
Z.故选D.
4.设函数f(x)(x¡
R)满足f(x+¦
)=f(x)+sinx.当0¡
π时,f(x)=0,则f
=( )
B.
C.0D.-
【解析】 ¡
ß
f(x+¦
)=f(x)+sinx,
f(x+2π)=f(x+¦
)-sinx.
f(x+2π)=f(x)+sinx-sinx=f(x).
f(x)是以2π为周期的周期函数.
又f
=f
f
+sin
当0¡
π时,f(x)=0,¡
=0,