摆动法测量转动惯量Word文档格式.docx

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式中

，

由初值条件所决定。

周期

（4-6）

2．物理摆

图4-2物理摆（复摆）

一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。

如图4-2，设物理摆的质心为C，质量为M，悬点为O，绕O点在铅直面转动的转动惯量为

，OC距离为

，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为

（4-7）

令

（4-8）

仿单摆，在

很小时，（4-7）式的解为：

（4-9）

（4-10）

设摆体沿过质心C的转动惯量为

，由平行轴定理可知：

（4-11）

将（4-11）代入（4-10）可得：

（4-12）

（4-12）式就是物理摆的自由摆动周期T和（4-13）式右端各参变量之间的关系。

实验就是围绕（4-12）式而展开的。

因为对任何

都有

∝

，因此（4-13）式的T与M无关，仅与M的分布相关。

令

称为回转半径，

则有

（4-13）

①一次法测重力加速度

由（4-12）式可得出

（4-14）

测出（4-14）右端各量即可得

；

摆动周期T，用数字计时器直接测出，M可用天平称出，C点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，

可以计算出。

②二次法测

一次法测

虽然简明，但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆，

就难以确定，为此采用如下“二次法”测

：

当M及其分布（C点）确定以后，改变h值，作两次测T的实验，运用（4-13）式于是有

即

（4-15）

（4-16）

联立解（4-15）、（4-16）式，可得出

（4-17）

这样就消去了

，所以（4-17）测

就有着广泛的适用性。

从（4-17）式，更可十分明确地看到T与M的无关性。

虽然，任意两组（

），（

）实测值，都可以由（4-17）式算出

但是，对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（

）数据，使能得出最精确的

的实测结果呢？

为此必须研究

（

）关系：

将（4-12）式平方，于是可得出

（4-18）

从此式可以看出T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线：

当h趋于0时T→∞，当h→∞，T亦趋于∞；

可见在h的某一处一定有一个凹形极小值。

为此，对（4-18）作一次求导并令其为0；

即由

可得

（4-19）

（4-20）

即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h=a处所相应的T为极小值（为什么？

）。

（注意：

体会称a为回转半径的含义）将（4-13）式取二次导数

为研究T（h）关系特在0.6m长的扁平摆杆上，间隔2cm均匀钻出直径为1cm的28个孔以作为O点的Hi值（i=±

1，±

2，±

3，……±

14）于是可得出如图4-3所示的曲线。

在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一Th画一条直线，交图线于C，D，E，F四点；

皆为等T值点，错落的两对等T值间的距离（hD+hE）=hC+hF被称为等值单摆长。

为理解这一点，将（4-17）式的T1与TE（或TD）对应，T2与TF（或TC）对应，h1为与T1对应的hE，h2为与T2对应的hF，并将（4-17）式改形为：

（4-22）

（4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。

从（4-22）可知，当T1=T2（=T）时，即化为单摆形式的公式（4-6），故称（hE+hF）、（hC+hD）为等值单摆长。

从（4-20）式可知：

=

而aX2=hE+h1

从图4-3可知，A，B二共轭点为T（h）的极小值点，若在它附近取二个h值来计算

则将引起较大的误差。

所以欲取得精确的

的测量值，就只能取最大的F点和相应的E点来计算

值。

因孔的非连续性，E只能取TE近乎于TF的点代入（4-22）式。

还可取略大、略小的两组值都计算出再取平均。

A或B在实验上虽然不利于测量出较精确的

，但运行在TB（或TA）值下的摆，其性能最稳定。

③可倒摆

为提高测

的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。

于是质心C点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是TC（即T1），TF（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。

但曲线的形状依归。

所以，用此时的T（=TF=TC）和h1（=hC），h2（=hF）按（4-22）式来计算出

。

当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用TC≈TF的实测值，这时（4-22）式的右端的第2项仅具很小的值。

所以（T1–T2）很小，而（h1–h2）较大。

所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T1的值然后逐渐减h2直至T2小于T1为止。

将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；

（4-22）式就称为可倒摆计算式。

摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。

由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。

④锤移效应

a．加锤摆的摆动周期Tm

设原摆为一带刻度的摆杆。

摆的质量为M，质心为C（设为坐标原点），摆心为O，CO距离为h，质心C处与摆心O处沿OZ轴的转动惯量为

、

以上条件皆固定不变。

然

后再加一个圆柱形的摆锤，锤的回转半径为r，质量为m；

正轴与上述各轴平行。

锤移动沿CO方向为+X。

置锤于X处，如图4-4所示。

摆的总质量为M′

（4-23）

质心变为C′，由一次矩平衡原理可得出

（4-24）

所以新的摆长

h′=

–

（4-25）

由平行轴定理，可得

J0′

（4-26）

设重力加速度

已知（不变），则带锤的摆动方程式仿（4-7）、（4-10）式为：

（动量矩定理）

（4-27）

ⅰ.加锤摆的周期公式Tm为：

（4-28）

在研究锤移效应时，令（固定不变）：

（4-29）

（4-30）

所以有

（4-31）

此式的特点：

▲它与无锤摆的形式相似，即原T（h）关系与现在Tm（X）关系相似，（此时h为固定常数）

▲由于X的取向等原因，所以Tm（X）相当于图4-3曲线的左叶，Tm（X）的渐近线为

，即

时，Tm→∞

而X的负向则为，X→－∞，Tm→＋∞

注：

，则Tm为复数（无意义）

▲它也存在着极（小）值

所以应由

（4-32）

令

所以有

代入

可得

（4-33）

=0

X=

分子，分母都除以2m（根号除以4m2）得

（4-34）

所以X一定有解，T有极值T（X）

如前所述，T（X）函数与T（h）函数的性状是一样的，所以此极值也一定是极小；

（以求

来判定，略去）

ⅱ.零质量摆锤的周期（公式）Tm0

将m=0代入公式（4-28），可得

（4-35）

Th意义就是与X平行的，值为Th的T（X）函数线。

Th也就是无锤摆在

=h时的摆动周期值，这也就是研究T（X）时为什么X的取向，原点都与原来的T（h）的h取向、原点为一致的原因，而另取一个有别于h的符号X是为了讨论、理解得方便。

理解这一点是弄明下一点的前提。

ⅲ.周期Tm与Th（即m=0时的Tm）的交点，即有Tm=Th

也就是令（4-28）式与（4-13）式相等，于是有：

（4-36）

所以

解得

（4-37）

上式如下特点：

▲它与m无关。

即锤的结构、形状相同（r相同）而密度（即质量）不同的摆锤，在X处摆的周期T相等。

▲它在r

a条件下有两个实根。

▲当r

（4-38）

即虽然它与锤质量无关，但它与质量的分布（回转半径r）相关，且r满足（4-38）式时，无解。

（4-39）

时退化为只有一个解：

（4-40）

ⅳ.回到物理摆的周期公式（4-12）式或（4-13）式，在摆杆质心点当有类似情况。

▲当m≠0而r→0的质点锤置于摆杆的质心C处时，并且悬挂点于a处。

▲当m≠0，m变则T变，这与由（4-37）式算出的X处r不变T变，m变而T为不变是有所不同的。

ⅴ.（钟表摆的）T的微调

▲远离于C，X1，X2；

▲调摆锤（或平衡锤——亦可称之为摆的“平衡”锤）的质量或其质量的分布。

移动平衡锤。

三、实验容与步骤

安装、调节好仪器以后：

1．测出无锤摆杆的T（H）关系；

（可只测半截摆杆的）

2．测出两个加锤摆的T1（X），T2（X）关系；

两摆锤的形状、尺寸须相同，而质量不同；

3．然后按原理所述，进行数据处理。

数据表格自列。

四、注意事项

1．摆幅A须小于1°

，按R=0.3m（

摆杆）+0.03m（摆针）=330mm计2倍振幅

2A≤

≤10mm；

2．摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触，不密切则调底脚螺钉，否则影响实验测量；

3．还须尽量作处于孔的正中央、且尽量作到一致；

4．周期T的测量建议以t=10T为宜，即T=

五、思考题

1．试证明二次法测g的公式（4-17）等效于卡特公式（4-22）。

2．为什么不能用图三的C点的（T1，h1）值和F点的（T2，h2）值来计算重力加速度

值，而须（F，D）或（F，E）来计算。

3．试述用摆动法测量任意形状物体对任一指定轴的转动惯量的实验步骤（设当地的重力加速度

已知）。