拔高讲义第二章函数与基本初等函数I之第1讲函数及其表示教师版文档格式.docx

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分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

2.函数定义域的求法

类型

x满足的条件

，n∈N*

f（x）≥0

与[f（x）]0

f（x）≠0

logaf（x）

f（x）＞0

四则运算组成的函数

各个函数定义域的交集

实际问题

使实际问题有意义

诊断自测

1.判断正误（在括号内打“√”或“×

”）　

精彩PPT展示

（1）f（x）＝与g（x）＝x是同一个函数.（×

）

（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.（×

（3）函数y＝的定义域为{x|x≠0}.（×

（4）f（x）＝则f（－x）＝

（√）

（5）f（－1）＝x，则f（x）＝（x＋1）2（x≥－1）.（√）

2.下列各组函数中，表示同一函数的是（　　）

A.f（x）＝|x|，g（x）＝B.f（x）＝，g（x）＝（）2

C.f（x）＝，g（x）＝x＋1D.f（x）＝·

，g（x）＝

解析　A中，g（x）＝|x|，∴f（x）＝g（x）.

B中，f（x）＝|x|（x∈R），g（x）＝x（x≥0），∴两函数的定义域不同.

C中，f（x）＝x＋1（x≠1），g（x）＝x＋1（x∈R），∴两函数的定义域不同.

D中，f（x）＝·

（x＋1≥0且x－1≥0），f（x）的定义域为{x|x≥1}；

g（x）＝（x2－1≥0），

g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤－1}.∴两函数的定义域不同.故选A.

答案　A

3.（2015·

全国Ⅱ卷）设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）＝（　　）

A.3B.6C.9D.12

解析　∵－2＜1，∴f（－2）＝1＋log2[2－（－2）]＝3，

∵log212＞1，∴f（log212）＝2log212－1＝2log26＝6，

∴f（－2）＋f（log212）＝9.

答案　C

4.（2015·

临沂期中）函数y＝的定义域为________.

解析　由题意知解得－1＜x≤2且x≠0.

答案　（－1，0∪（0，2]

5.函数f（x）＝的值域为________.

解析　当x≥1时，logx≤0；

当x＜1时，0＜2x＜2，

故值域为（－∞，0]∪（0，2）＝（－∞，2）.

答案　（－∞，2）

考点一　求函数的定义域

【例1】

（1）函数f（x）＝的定义域为（　　）

A.[1，10]B.[1，2）∪（2，10]

C.（1，10]D.（1，2）∪（2，10]

（2）（2015·

杭州模拟）函数f（x）＝ln＋x的定义域为（　　）

A.（0，＋∞）B.（1，＋∞）C.（0，1）D.（0，1）∪（1，＋∞）

解析　

（1）要使函数f（x）有意义，则x需满足

即

解得1＜x≤10且x≠2.

（2）要使函数f（x）有意义，解得x＞1，故函数f（x）＝ln＋x的定义域为（1，＋∞）.

答案　

（1）D　

（2）B

规律方法　简单函数定义域的类型及求法

（1）已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式（组）求解.

（2）抽象函数：

①若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；

②若已知函数f[g（x）]的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]时的值域.

【训练1】

（1）（2016·

唐山模拟）已知函数f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）＝f＋f的定义域是________.

（2）函数f（x）＝ln＋的定义域为________.

解析　

（1）因为函数f（x）的定义域是[0，2]，

所以函数g（x）＝f＋f中的自变量x需要满足解得≤x≤，

所以函数g（x）的定义域是.

（2）由条件知⇒⇒x∈（0，1].

答案　

（1）　

（2）（0，1]

考点二　求函数的解析式

【例2】

（1）已知f＝x2＋，则f（x）＝________.

（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，则f（x）＝________.

（3）已知f＝lgx，则f（x）＝________.

（4）已知f（x）满足2f（x）＋f＝3x，则f（x）＝________.

解析　

（1）f＝x2＋＝－2，

又x＋∈（－∞，－2]∪[2，＋∞），

∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）.

（2）设f（x）＝ax＋b（a≠0），

则3f（x＋1）－2f（x－1）＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b

＝ax＋5a＋b，

即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立，

∴解得∴f（x）＝2x＋7.

（3）令t＝＋1（t＞1），则x＝，

∴f（t）＝lg，即f（x）＝lg（x＞1）.

（4）∵2f（x）＋f＝3x，①

以代替①式中的x（x≠0），得

2f＋f（x）＝.②

①×

2－②得3f（x）＝6x－，

∴f（x）＝2x－（x≠0）.

答案　

（1）x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）　

（2）2x＋7

（3）lg（x＞1）　（4）2x－（x≠0）

规律方法　函数解析式的求法

（1）待定系数法：

若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；

（2）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

（3）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的解析式；

（4）消去法：

已知f（x）与f或f（－x）之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）.

【训练2】

（1）已知f（＋1）＝x＋2，则f（x）＝________.

（2）设y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两个相等实根，且f′（x）＝2x＋2，则f（x）的解析式为________.

解析　

（1）（换元法）令＋1＝t≥1，则x＝（t－1）2，

∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1），

∴f（x）＝x2－1（x≥1）.

（配凑法）f（＋1）＝x＋2＝（＋1）2－1，

又＋1≥1，∴f（x）＝x2－1（x≥1）.

（2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由f（x）＝0有两个相等实根，得Δ＝b2－4ac＝0，

又f′（x）＝2ax＋b＝2x＋2，

∴a＝1，b＝2，∴c＝1，

∴f（x）＝x2＋2x＋1.

答案　

（1）x2－1（x≥1）　

（2）x2＋2x＋1

考点三　分段函数

【例3】

（1）（2015·

全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝且f（a）＝－3，则f（6－a）等于（　　）

A.－B.－C.－D.－

（2）（2014·

新课标全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是________.

解析　

（1）当a≤1时，f（a）＝2a－1－2＝－3，

即2a－1＝－1，不成立，舍去；

当a＞1时，f（a）＝－log2（a＋1）＝－3，

即log2（a＋1）＝3，解得a＝7，

此时f（6－a）＝f（－1）＝2－2－2＝－.故选A.

（2）当x＜1时，ex－1≤2成立，解得x≤1＋ln2，

∴x＜1.当x≥1时，x≤2，解得x≤8，∴1≤x≤8.

综上可知x∈（－∞，8].

答案　

（1）A　

（2）（－∞，8]

规律方法　

（1）应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.

（2）当给出函数值或函数值的范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.

【训练3】

（1）设函数f（x）＝若f（f（a））＝2，则a＝________.

山东卷）设函数f（x）＝则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　）

A.B.[0，1]

C.D.[1,＋∞）

解析　

（1）当a＞0时，f（a）＝－a2＜0，f（f（a））＝a4－2a2＋2＝2，解得a＝（a＝0与a＝－舍去）.

当a≤0时，f（a）＝a2＋2a＋2＝（a＋1）2＋1＞0，

f（f（a））＝－（a2＋2a＋2）2＝2，此方程无解.

（2）由f（f（a））＝2f（a）得，f（a）≥1.当a<

1时，有3a－1≥1，

∴a≥，∴≤a<

1.当a≥1时，有2a≥1，

∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥，故选C.

答案　

（1）　

（2）C

[思想方法]

1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：

一是定义域是否相同；

二是对应关系是否相同.

2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.

3.函数解析式的几种常用求法：

待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法.

[易错防范]

1.求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域，如已知f（）＝x＋1，求函数f（x）的解析式时，通过换元的方法可得f（x）＝x2＋1，这个函数的定义域是[0，＋∞），而不是（－∞，＋∞）.

2.求分段函数应注意的问题：

在求分段函数的值f（x0）时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.下图中可作为函数y＝f（x）的图象的是（　　）

解析　由函数的定义知只有D是“多对一”函数，而A，B，C均为“一对多”，故选D.

答案　D

2.下列函数中，与函数y＝的定义域相同的函数为（　　）

A.y＝B.y＝

C.y＝xexD.y＝

解析　函数y＝的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），而y＝的定义域为{x|x≠

kπ，k∈Z}，y＝的定义域为（0，＋∞），y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.故选D.

3.函数f（x）＝的定义域为（　　）

A.B.（2，＋∞）

C.∪（2，＋∞）D.∪[2，＋∞）

解析　要使函数f（x）有意义，需使（log2x）2－1＞0，即（log2x）2＞1，∴log2x＞1或log2x＜－1.解之得x＞2或0＜x＜.

故f（x）的定义域为∪（2，＋∞）.

4.设函数f（x）＝则f（f（3））等于（　　）

A.B.3C.D.

解析　由题意知f（3）＝≤1，f＝＋1＝，∴f（f（3））＝f