完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版Word文档格式.docx
《完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版人教版高数必修五第2讲正弦定理和余弦定理的应用教师版Word文档格式.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（4）检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。
类型一：
测量距离、高度问题
例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧
间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定
两点间的距离的是（）
A.角
和边
B.角
C.边
和角
D.边
和角
解析：
根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D
答案：
D
练习1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°
、60°
，则塔高为（ ）
A．
m B．
mC．200
m D．200m
如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，
∠ADM＝30°
，∠ACB＝60°
∴BC＝
＝
，AM＝DMtan30°
＝BCtan30°
.
∴CD＝AB－AM＝
A
练习2：
要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°
，在D点测得塔顶A的仰角是30°
，并测得水平面上的∠BCD＝120°
，CD＝40m，则电视塔的高度为（ ）
A．10
m B．20mC．20
m D．40m
设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝
xm，在△BCD中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·
CDcos120°
，
∴x2－20x－800＝0，∴x＝40（m）．
例2：
一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°
的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过
h，该船实际航程为________．
如图，水流速和船速的合速度为v，
在△OAB中：
OB2＝OA2＋AB2－2OA·
AB·
cos60°
∴OB＝v＝2
km/h.
即船的实际速度为2
km/h，则经过
h，其路程为2
×
＝6km.
6km
练习3：
在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°
和60°
，试计算该渔船离灯塔的距离________．
由题意，作出图形如图所示，
设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°
可知∠CBD＝30°
，∠BAC＝45°
＋90°
＝135°
∴∠ACB＝180°
－135°
－30°
＝15°
又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得
∴AC＝
＝25（
＋
）（m）．
∴出事渔船离灯塔的距离CD＝
AC
＋1）（m）．
练习4：
两船同时从A港出发，甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80°
的方向航行，乙船以每小时12nmile的速度向北偏西40°
方向航行，一小时后，两船相距________nmile.
如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，
∠CAB＝40°
＋80°
＝120°
由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×
20×
12·
cos120°
＝784，∴BC＝28（nmile）．
28
规律总结：
求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。
类型二：
测量角度问题、三角形综合题
例3：
在某测量中，A在B的北偏东55°
，则B在A的（ ）
A．北偏西35°
B．北偏东55°
C．北偏东35°
D．南偏西55°
根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．
α＝55°
，则β＝α＝55°
所以B在A的南偏西55°
练习5：
已知两座灯塔
和
与海洋观察站
的距离相等，灯塔
在观察站
的北偏东
，灯塔
的南偏东
，则灯塔
在灯塔
的（）
A.北偏东
B.北偏西
C.南偏东
D.南偏西
B
练习6：
某观察站
与两灯塔
的距离分别为300米和500米，测得灯塔
北偏东
处，灯塔
南偏东
处，则两灯塔
间距离为（）
A.400米B.500米C.800米D.700米
例4：
在
中，三个内角
的对边分别为
若
的面积为
，且
，则
（）
A.
B.
C.
D.
由
即
又
，所以
又
C
练习7：
A.2B.3C.-2D.-3
练习8：
A.3B.4C.5D.6
1.在某测量中，A在B的北偏东45°
B．北偏东55°
D．南偏西45°
2.在某测量中，A在B的南偏西45°
B．北偏东45°
3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°
mB.200
mC.
mD.400m
4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°
，CD＝60m，则电视塔的高度为（ ）
m D．60m
5.如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为
，设α为坡角，那么
等于（ ）
B．
C．
D．
6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东30°
，灯塔B在观察站C的南偏东70°
，则灯塔A在灯塔B的（ ）
A．北偏东20°
B．北偏西20°
C．南偏东20°
D．南偏西20°
_________________________________________________________________________________
基础巩固
1.某人向正东走
Km，向右转
，然后朝旋转后的方向走3km后，他离最开始的出发点的距离恰好为
km，那么
的值为__________
2.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°
，灯塔B在观察站C的南偏东40°
，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．akm B．
akmC．
akm D．2akm
3.有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°
，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°
，则坡底要延伸（ ）
A．5m B．10mC．10
m D．10
m
4.江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°
和30°
，而且两条船与炮台底部连线成30°
角，则两条船相距（ ）
m B．100
mC．20
m D．30m
5.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°
，∠CAB＝105°
后，就可以计算A、B两点的距离为（ ）
A．50
m B．50
mC．25
m D．
6.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°
方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°
方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______km.（精确到0.1km）
5.2
7.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°
，与灯塔S相距20nmile，随后货轮按北偏西30°
的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）
A．20（
）nmile/hB．20（
－
）nmile/hC．20（
）nmile/hD．20（
）nmile/h
能力提升
8.某海岛周围38nmile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°
方向，航行30nmile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险（填“有”或“无”）．
如图所示，由题意在△ABC中，AB＝30，
∠BAC＝30°
∠ABC＝135°
，∴∠ACB＝15°
由正弦定理，得BC＝
＝15（
）．
在Rt△BDC中，CD＝
BC＝15（
＋1）>
38.
∴此船无触礁的危险．
9.甲船在A处发现乙船在北偏东60°
的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是
anmile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？
如图，设经过th两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at，AC＝
at，B＝180°
－60°
，
由
得sin∠CAB＝
∵0°
<
∠CAB<
90°
∴∠CAB＝30°
∴∠DAC＝60°
＝30°
.
即甲船应沿北偏东30°
的方向前进，才能最快与乙船相遇．
10.在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ（cosθ＝
）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°
方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
如图所示，设在时刻t（h）台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为（10t＋60）km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10
升级会员 