版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量83空间图形的基本关系与公理试题理北师大版0405023Word文档格式.docx
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1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)如果两个不重合的平面α,β有一条公共直线a,就说平面α,β相交,并记作α∩β=a.( √ )
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.( ×
)
(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( ×
(4)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( √ )
(5)没有公共点的两条直线是异面直线.( ×
1.下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面;
②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 ②中两直线可以平行、相交或异面,④中若三个点在同一条直线上,则两个平面相交,①③正确.
2.(2016·
浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥lB.m∥n
C.n⊥lD.m⊥n
解析 由已知,α∩β=l,∴lβ,又∵n⊥β,∴n⊥l,C正确.
3.(2016·
合肥质检)已知l,m,n为不同的直线,α,β,γ为不同的平面,则下列判断正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n
C.若α∩β=l,m∥α,m∥β,则m∥l
D.若α∩β=m,α∩γ=n,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
解析 m,n可能的位置关系为平行,相交,异面,故A错误;
根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误;
根据线面平行的性质可知C正确;
若m∥n,根据线面垂直的判定可知D错误,故选C.
4.(教材改编)如图所示,已知在长方体ABCD-EFGH中,AB=2
,AD=2
,AE=2,则BC和EG所成角的大小是______,AE和BG所成角的大小是________.
答案 45°
60°
解析 ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF,tan∠EGF=
=
=1,∴∠EGF=45°
,
∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF,tan∠GBF=
,∴∠GBF=60°
5.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
答案 4
解析 EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.
题型一 平面基本性质的应用
例1
(1)(2016·
山东)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若直线a和直线b相交,则平面α和平面β相交;
若平面α和平面β相交,那么直线a和直线b可能平行或异面或相交,故选A.
(2)已知空间四边形ABCD(如图所示),E、F分别是AB、AD的中点,G、H分别是BC、CD上的点,且CG=
BC,CH=
DC.求证:
①E、F、G、H四点共面;
②三直线FH、EG、AC共点.
证明 ①连接EF、GH,如图所示,
∵E、F分别是AB、AD的中点,
∴EF∥BD.
又∵CG=
DC,
∴GH∥BD,∴EF∥GH,
∴E、F、G、H四点共面.
②易知FH与直线AC不平行,但共面,
∴设FH∩AC=M,
∴M∈平面EFHG,M∈平面ABC.
又∵平面EFHG∩平面ABC=EG,
∴M∈EG,∴FH、EG、AC共点.
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明点或线共面问题的两种方法:
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;
②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
(2)证明点共线问题的两种方法:
①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)证明线共点问题的常用方法是:
先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°
,BC∥AD且BC=
AD,BE∥AF且BE=
AF,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
(1)证明 由已知FG=GA,FH=HD,
可得GH綊
AD.
又BC綊
AD,∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 ∵BE綊
AF,G是FA的中点,∴BE綊FG,
∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.
由
(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面.
题型二 判断空间两直线的位置关系
例2
(1)(2015·
广东)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( )
A.MN与CC1垂直
B.MN与AC垂直
C.MN与BD平行
D.MN与A1B1平行
(3)在图中,G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
答案
(1)D
(2)D (3)②④
解析
(1)若l与l1,l2都不相交,则l∥l1,l∥l2,∴l1∥l2,这与l1和l2异面矛盾,
∴l至少与l1,l2中的一条相交.
(2)连接B1C,B1D1,如图所示,
则点M是B1C的中点,MN是△B1CD1的中位线,∴MN∥B1D1,
又BD∥B1D1,∴MN∥BD.
∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1,
∴MN⊥CC1,MN⊥AC.
又∵A1B1与B1D1相交,
∴MN与A1B1不平行,故选D.
(3)图①中,直线GH∥MN;
图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,
因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,
因此GH与MN异面.
所以图②④中GH与MN异面.
思维升华 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线,可采用直接法或反证法;
对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;
对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.
(1)已知a,b,c为三条不重合的直线,有下列结论:
①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;
②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;
③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的个数为( )
(2)(2016·
南昌一模)已知a、b、c是相异直线,α、β、γ是相异平面,则下列命题中正确的是( )
A.a与b异面,b与c异面⇒a与c异面
B.a与b相交,b与c相交⇒a与c相交
C.α∥β,β∥γ⇒α∥γ
D.aα,bβ,α与β相交⇒a与b相交
答案
(1)B
(2)C
解析
(1)在空间中,若a⊥b,a⊥c,则b,c可能平行,也可能相交,还可能异面,所以①②错,③显然成立.
(2)如图
(1),在正方体中,a、b、c是三条棱所在直线,满足a与b异面,b与c异面,但a∩c=A,故A错误;
在图
(2)的正方体中,满足a与b相交,b与c相交,但a与c不相交,故B错误;
如图(3),α∩β=c,a∥c,则a与b不相交,故D错误.
题型三 求两条异面直线所成的角
例3 (2016·
重庆模拟)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,则异面直线AP与BD所成的角为________.
答案
解析 如图,将原图补成正方体ABCD-QGHP,连接GP,则GP∥BD,
所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角,
在△AGP中,AG=GP=AP,
所以∠APG=
引申探究
在本例条件下,若E,F,M分别是AB,BC,PQ的中点,异面直线EM与AF所成的角为θ,求cosθ的值.
解 设N为BF的中点,连接EN,MN,
则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角.
不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4,
则EN=
,EM=2
MN=
在△MEN中,由余弦定理得
cos∠MEN=
=-
即cosθ=
思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法
(1)一作:
根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;
(2)二证:
证明作出的角是异面直线所成的角;
(3)三求:
解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;
如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 画出正四面体ABCD的直观图,如图所示.
设其棱长为2,取AD的中点F,
连接EF,
设EF的中点为O,连接CO,
则EF∥BD,
则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角.
△ABC为等边三角形,
则CE⊥AB,
易得CE=
同理可得CF=
故CE=CF.
因为OE=OF,所以CO⊥EF.
又EO=
EF=
BD=
所以cos∠FEC=
16.构造模型判断空间线面位置关系
典例 已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:
①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;
②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;