第3章一阶动态电路分析docWord下载.docx
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4.激励
激励（excitation）又称输入，是指从电源输入的信号。
激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5.响应
电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。
按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：
（1）零输入响应（zeroinputresponse）：
零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。
（2）零状态响应（zerostateresponse）：
零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部激励所引起的响应。
（3）全响应（completeresponse）：
在换路时储能元件初始储能不为零的情况下，再加上外部激励所引起的响应。
3.一阶电路
电路中只含有一个储能元件或等效为一个储能元件的线性电路，其KVL方程为一阶微分方程，这类电路称为一阶电路，它包括RC电路和RL电路。
尽管暂态过程时间短暂，但它是客观存在的物理现象，在实际应用中极为重要。
一方面可以利用暂态过程有利的一面，如在电子技术中利用它来产生波形（锯齿波、三角波等）。
另一方面，也要避免它有害的一面，如在暂态过程中可能会出现过电压或过电流，会损坏元器件和电气设备。
因此研究暂态过程可以掌握它的规律，以便利用它有利的一面，避免不利的一面，意义重大。
3.2换路定律
换路定律是电路暂态分析中的主要定律，它是求解电容的电压和电感的电流初始值的主要依据。
3.2.1换路定律
电路的换路是产生暂态过程的外因，而要产生暂态过程，必须有储能元件—电感或电容。
当换路时，含有储能元件的电路的稳定状态发生了变化，电感和电容中的储能也要发生变化，但能量不能突变。
因为若能量突变，由
可得功率为无穷大，而功率是有限的。
因此，能量不能突变。
而电感的磁场能为
，电容中的电场能
，能量不能突变，这就意味着电感中的电流和电容上的电压不能突变。
所以换路前的终了值应等于换路后的初始值，这一规律称为电路的换路定律（switchinglaw）。
若t=0_表示换路前终了瞬间，t=0+表示换路后初始瞬间，则换路定律可以用公式表示为：
3.2.2初始值的确定
1.初始值的求解步骤
换路定律适用于换路瞬间，由它可以确定换路后uC或iL的初始值，再由这两个初始值来确定换路后电路的其他电压或电流的初始值。
以下为求初始值的求解步骤：
（1）由
的等效电路求出
或
。
（2）由换路定律确定
（3）由
的等效电路，利用
求出换路瞬间电路中的其他电量的初始值。
2.等效电路的画法
在
和
时，等效电路的画法应根据以下几点：
（1）换路前电容或电感上没有储能：
①
的等效电路中，所有电量的值为0，
②
的等效电路中，电容视为短路，电感视为开路。
这是因为
时，由换路定律知
=0，而此时电容中有电流，所以电容视为短路；
=0，而此时电感两端有电压，所以电感视为开路。
（2）换路前电容或电感上有储能且已达稳态，
的等效电路中，电容视为开路，其电压为
；
电感视为短路，其电流为
这是因为电容与电感的伏安关系分别为
，
，换路前达稳态时，
所以电容视为开路，其电压为
的等效电路中，电容视为一个恒压源，电压为
电感视为一个恒流源，电流为
这是因为换路时电容的电压和电感的电流不能突变，所以电容视为一个恒压源，电压为
3.2.3稳态值的确定
换路后的电路达到新的稳态后，电压和电流的数值称为稳态值，当
时，电路又达新的稳态。
若
时电感或电容无储能，则
，其它电量的稳态值也为零。
时电感或电容有储能，因已达稳态，则
而
所以在
再利用电容开路和电感短路求其它电量的稳态值。
【例3.1】电路如图3.2.1所示，已知E=12V，R1=4Ω，R2=2Ω，开关S断开前电路已达稳态。
求S断开后，
（1）
、
（2）
图3.2.1
解：
（1）求初始值
①画出
时的等效电路如图3.2.2（a）所示。
（a）（b）
图3.2.2
由题意知：
换路前电路已处于稳态，电容C视为开路，由等效电路得：
V
②由换路定律得：
=4V
③画出
时的等效电路如图3.2.2（b）所示，此时电容视为一个电压为4V的恒压源，则
A
（2）求稳态值
达稳态时，电容没有储能，则
3.3RC电路的暂态分析
本节将通过最简单的RC电路来分析其响应，也就是研究RC电路的充放电规律。
3.3.1RC电路的零输入响应
图3.3.1RC电路的零输入响应
在图3.3.1所示（a）RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源连接，电源通过电阻R对电容器充电至U0，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，试分析换路后
的变化规律。
因为换路后的电路外部激励为零，内部储能元件电容换路前有初始储能，所以该电路的响应为零输入响应。
分析RC电路的零输入响应也就是分析其放电规律。
换路后等效电路如图3.3.1（b），由KVL可得：
由于
，将
代入上式得微分方程：
或
这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，它的通解为：
式中A和p是待定系数，A为常数，p为该微分方程特征方程的根。
将通解代入微分方程式得：
整理后得到如下的特征方程：
特征根为：
再来求常数A，可由初始条件确定，由题意知换路前电容电压
根据换路定律得：
令t=0将其代入微分方程的通解得：
将p和A的结果代入方程的通解得：
其随时间变化的曲线如图3.3.2（a）所示。
由图可见，它的初始值为U，按指数规律衰减至零。
（a）（b）
图3.3.2RC电路的响应曲线
由
可求出
的变化规律：
其随时间变化的曲线如图3.3.2（b）所示。
由图可见，它的初始值为U0，按指数规律衰减至零。
通过分析
的变化规律可见，电路中各处的电压和电流均按指数规律变化。
当上面的暂态过程结束时，电路处于稳定状态，这时电容端电压
和电流
的稳态值均为零。
暂态过程进行的快慢，取决于电路参数R和C的乘积。
令
，其中R的单位是欧姆（Ω），C的单位是法拉（F），
的单位为秒（s）。
因为它具有时间的量纲，所以称为电路的时间常数，它仅仅是由电路的结构和元件参数的大小决定，而与换路情况和外加电压无关。
当
时，
可见时间常数
等于电压
衰减到初始值的33.8%所需要的时间，如图3.3.3所示。
图3.3.3
同样也可列出其它时刻
的数值，见表3.3.1。
表3.3.1
与
的关系
t
…
U0
0.368U0
0.135U0
0.05U0
0.018U0
0.0067U0
从理论上讲，电容电压从
过渡到新的稳态（
）需要的时间为无穷大，但由上表可以看出，一般经过
～
的时间就可以认为零输入响应衰减到零，暂态过程结束。
【例3.2】电路如图3.3.4所示，已知R1=6Ω，R2=3Ω，C=0.01F，IS=3A，S闭合前电路处于直流稳态，在t=0时S闭合，求t≥0时
图3.3.4（a）
（1）在
时的等效电路中，电容视为开路，如图（b）所示。
（b）
由图可得：
（V）
由换路定律得：
（2）换路后的电路如图（c）所示。
（c）
电路的时间常数
为
s
则由RC电路的零输入响应的通解得：
则：
3.3.2RC电路的零状态响应
图3.3.5
在图3.3.5所示RC一阶电路中，换路前开关S断开，电容无储能。
t=0时换路，换路后S闭合，RC电路与直流电源连接，试分析换路后
因为换路前电容无初始储能，即电路中储能元件的初始值为零，电路的响应是由电源激励所产生的，所以该电路的响应为零状态响应。
分析RC电路的零状态响应也就是分析其充电规律。
换路后，电压源通过电阻R向电容C充电，电容上的电压
将从初始值逐渐过渡到某一个稳态值。
由图中所示参考方向，根据KVL得：
这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它通解得一般形式为：
通解=齐次微分方程通解+特解
其中齐次微分方程通解即为上面所讨论的
，特解是非齐次微分方程的一个特殊解，可以取换路后的稳态值。
由题意可以得出，换路后的稳态值为E，故非齐次微分方程的通解为：
其中p为该齐次微分方程的特征根。
积分常数A仍由初始值确定，将初始条件
代入非齐次微分方程的通解，得：
于是求得零状态响应为：
其中，E为
时电容两端电压
，零状态响应又可写为
则
它们的变化曲线如图3.3.6（a）、（b）所示。
（a）（b）
图3.3.6RC电路的零状态响应曲线
【例3.3】在图3.3.5中，已知R=2Ω，C=4μF，E=10V，当t=0时，开关S闭合，换路前电容初始储能为零，试求开关闭合后
换路前C无初始储能，故
换路后根据KVL得：
即
求得：
3.3.3RC电路的全响应
在图3.3.7所示RC一阶电路中，换路前开关S合在“1”处，RC电路与直流电源E1连接，而且电路已稳定，t=0时换路，即将开关S转换到“2”处，RC电路与直流电源E2连接，设电容的电压和电流方向为关联参考方向，试分析换路后
图3.3.7
由于换路前电路已稳定，电容已有储能。
换路后电路由电压源E2激励，所以该电路的响应为全响应。
在t≥0时，由KVL得：
代
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