高考一轮北师大版数学文科 第6章 第3节 简单线性规划Word格式.docx

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满足线性约束条件的解（x，y）

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）不等式Ax＋By＋C>

0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（　　）

（2）线性目标函数的最优解可能不唯一．（　　）

（3）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（　　）

（4）不等式x2－y2<

0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）不等式组

表示的平面区域是（　　）

C　[x－3y＋6<

0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]

3．（2016·

全国卷Ⅲ）若x，y满足约束条件

则z＝x＋y的最大值为________．

　[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．

由

得A

.

当直线z＝x＋y过点A

时，zmax＝1＋

＝

.]

4．（2016·

保定调研）在平面直角坐标系xOy中，若点P（m,1）到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P（m,1）在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝__________.

【导学号：

66482287】

6　[由题意得

＝4及2m＋1≥3，

解得m＝6.]

5．在平面直角坐标系中，不等式组

表示的平面区域的面积是__________.

66482288】

1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，

由x＝1，x＋y＝0得A（1，－1），

由x＝1，x－y－4＝0得B（1，－3），

由x＋y＝0，x－y－4＝0得C（2，－2），

∴|AB|＝2，∴S△ABC＝

×

2×

1＝1.]

二元一次不等式（组）表示的平面区域

（1）（2016·

浙江高考）若平面区域

夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）

A.

　　　　　　　B．

C.

D．

（2）（2016·

衡水中学调研）若不等式组

表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

A．a<

5B．a≥7

C．5≤a<

7D．a<

5或a≥7

（1）B　

（2）C　[

（1）根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组

求得A（1,2），联立方程组

求得B（2,1），可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为

，故选B.

（2）如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间（不含y＝7）时满足条件，故选C.]

[规律方法]　1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．

2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．

[变式训练1]　不等式组

表示的平面区域的面积为_____．

4　[不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．

得

∴A（0,2），B（2,0），C（8，－2）．

直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为（4,0）．

因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝

2＋

2＝4.]

简单的线性规划问题

☞角度1　求线性目标函数的最值

全国卷Ⅱ）若x，y满足约束条件

则z＝x－2y的最小值为________．

（2）（2017·

福州质检）已知实数x，y满足

且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________．

（1）－5　

（2）3　[

（1）不等式组

表示的可行域如图阴影部分所示．

由z＝x－2y得y＝

x－

z.

平移直线y＝

x，易知经过点A（3,4）时，z有最小值，最小值为z＝3－2×

4＝－5.

（2）在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以

，

，（1,1）为顶点的三角形区域（包含边界），又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点（1,1）时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×

1＋1＝3.]

☞角度2　求非线性目标函数的最值

山东高考）若变量x，y满足

则x2＋y2的最大值是（　　）

A．4B．9

C．10D．12

湖北七市4月联考）若变量x，y满足约束条件

则z＝

的取值范围是__________．

（1）C　

（2）

　[

（1）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由

得A（3，－1），由图易得（x2＋y2）max＝|OA|2＝32＋（－1）2＝10.故选C.

（2）作出不等式组

所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域（含边界），

其中点A（1,1），B（－1，－1），C

.z＝

表示△ABC区域内的点与点M（2,0）的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即

≤z≤

，化简得－1≤z≤

☞角度3　线性规划中的参数问题

　（2016·

河北石家庄质检）已知x，y满足约束条件

若目标函数z＝y－mx（m>

0）的最大值为1，则m的值是（　　）

66482289】

A．－

　　　　　　　　B．1

C．2D．5

B　[作出可行域，如图所示的阴影部分．

∵m>

0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由

解得

即A（1,2），∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.]

[规律方法]　1.求目标函数的最值的一般步骤为：

一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．

2．常见的目标函数有：

（1）截距型：

形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：

y＝－

x＋

，通过求直线的截距

的最值间接求出z的最值．

（2）距离型：

形如z＝（x－a）2＋（y－b）2.

（3）斜率型：

形如z＝

易错警示：

注意转化的等价性及几何意义.

线性规划的实际应用

天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

　　原料

肥料　　

A

B

C

甲

4

8

3

乙

5

10

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；

生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．

（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

并求出此最大利润．

[解]　

（1）由已知，x，y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分

（2）设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.

考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－

，它的图象是斜率为－

，随z变化的一族平行直线，

为直线在y轴上的截距，当

取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距

最大，即z最大.7分

解方程组

得点M的坐标为（20,24），

所以zmax＝2×

20＋3×

24＝112.

答：

生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分

[规律方法]　1.解线性规划应用题的步骤

（1）转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；

（2）求解——解这个纯数学的线性规划问题；

（3）作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．

2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；

写出要研究的函数，转化成线性规划问题．

[变式训练2]　某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）

66482290】

原料限额

A（吨）

2

12

B（吨）

1

A.12万元B．16万元

C．17万元D．18万元

D　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有

z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A（2,3）时，z取最大值，最大值为3×

2＋4×

3＝18.]

[思想与方法]

1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．

（1）直线定界：

即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；

若不等式含有等号，把直线画成实线．

（2）特殊点定域：

当C≠0时，常把原点作为测试点；

当C＝0时，常选点（1,0）或者（0,1）作为测试点．

2．利用线性规划求最值的步骤是：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域；

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

（3）确定最优解：

在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

（4）求最值：

将最优解代入目标函数求最值．

[易错与防范]

1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．

2．求二元一次函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值，利用其几何意义，通过求y＝－

的截距

的最值间接求出z的最值，要注意：

当b>

0时，截距

取最大值时，z也取最大值；

截距

取最小值时，z也取最小值．当b<

0时，结论与b>

0的情形恰好相反．