高考一轮北师大版数学文科 第6章 第3节 简单线性规划Word格式.docx
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满足线性约束条件的解(x,y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)不等式Ax+By+C>
0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( )
(2)线性目标函数的最优解可能不唯一.( )
(3)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( )
(4)不等式x2-y2<
0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)×
(4)√
2.(教材改编)不等式组
表示的平面区域是( )
C [x-3y+6<
0表示直线x-3y+6=0左上方的平面区域,x-y+2≥0表示直线x-y+2=0及其右下方的平面区域,故选C.]
3.(2016·
全国卷Ⅲ)若x,y满足约束条件
则z=x+y的最大值为________.
[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.
由
得A
.
当直线z=x+y过点A
时,zmax=1+
=
.]
4.(2016·
保定调研)在平面直角坐标系xOy中,若点P(m,1)到直线4x-3y-1=0的距离为4,且点P(m,1)在不等式2x+y≥3表示的平面区域内,则m=__________.
【导学号:
66482287】
6 [由题意得
=4及2m+1≥3,
解得m=6.]
5.在平面直角坐标系中,不等式组
表示的平面区域的面积是__________.
66482288】
1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示,
由x=1,x+y=0得A(1,-1),
由x=1,x-y-4=0得B(1,-3),
由x+y=0,x-y-4=0得C(2,-2),
∴|AB|=2,∴S△ABC=
×
2×
1=1.]
二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)(2016·
浙江高考)若平面区域
夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2016·
衡水中学调研)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )
A.a<
5B.a≥7
C.5≤a<
7D.a<
5或a≥7
(1)B
(2)C [
(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件,联立方程组
求得A(1,2),联立方程组
求得B(2,1),可求得分别过A,B点且斜率为1的两条直线方程为x-y+1=0和x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为
,故选B.
(2)如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件,故选C.]
[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域,若直线不过原点,特殊点常选取原点.
2.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集,画出图形后,面积关系结合平面几何知识求解.
[变式训练1] 不等式组
表示的平面区域的面积为_____.
4 [不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.
得
∴A(0,2),B(2,0),C(8,-2).
直线x+2y-4=0与x轴的交点D的坐标为(4,0).
因此S△ABC=S△ABD+S△BCD=
2+
2=4.]
简单的线性规划问题
☞角度1 求线性目标函数的最值
全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件
则z=x-2y的最小值为________.
(2)(2017·
福州质检)已知实数x,y满足
且数列4x,z,2y为等差数列,则实数z的最大值是__________.
(1)-5
(2)3 [
(1)不等式组
表示的可行域如图阴影部分所示.
由z=x-2y得y=
x-
z.
平移直线y=
x,易知经过点A(3,4)时,z有最小值,最小值为z=3-2×
4=-5.
(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以
,
,(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界),又由题意易得z=2x+y,所以当目标函数z=2x+y经过平面区域内的点(1,1)时,z=2x+y取得最大值zmax=2×
1+1=3.]
☞角度2 求非线性目标函数的最值
山东高考)若变量x,y满足
则x2+y2的最大值是( )
A.4B.9
C.10D.12
湖北七市4月联考)若变量x,y满足约束条件
则z=
的取值范围是__________.
(1)C
(2)
[
(1)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.x2+y2表示平面区域内的点到原点距离的平方,由
得A(3,-1),由图易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故选C.
(2)作出不等式组
所表示的区域,如图中△ABC所表示的区域(含边界),
其中点A(1,1),B(-1,-1),C
.z=
表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率,显然kMA≤z≤kMB,即
≤z≤
,化简得-1≤z≤
☞角度3 线性规划中的参数问题
(2016·
河北石家庄质检)已知x,y满足约束条件
若目标函数z=y-mx(m>
0)的最大值为1,则m的值是( )
66482289】
A.-
B.1
C.2D.5
B [作出可行域,如图所示的阴影部分.
∵m>
0,∴当z=y-mx经过点A时,z取最大值,由
解得
即A(1,2),∴2-m=1,解得m=1.故选B.]
[规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为:
一作图、二平移、三求值.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.
2.常见的目标函数有:
(1)截距型:
形如z=ax+by.求这类目标函数的最值时常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:
y=-
x+
,通过求直线的截距
的最值间接求出z的最值.
(2)距离型:
形如z=(x-a)2+(y-b)2.
(3)斜率型:
形如z=
易错警示:
注意转化的等价性及几何意义.
线性规划的实际应用
天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
10
现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;
生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?
并求出此最大利润.
[解]
(1)由已知,x,y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分
(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.
考虑z=2x+3y,将它变形为y=-
,它的图象是斜率为-
,随z变化的一族平行直线,
为直线在y轴上的截距,当
取最大值时,z的值最大.根据x,y满足的约束条件,由图②可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距
最大,即z最大.7分
解方程组
得点M的坐标为(20,24),
所以zmax=2×
20+3×
24=112.
答:
生产甲种肥料20车皮,乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.12分
[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题;
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题;
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.
2.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件;
写出要研究的函数,转化成线性规划问题.
[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
66482290】
原料限额
A(吨)
2
12
B(吨)
1
A.12万元B.16万元
C.17万元D.18万元
D [设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨,每天所获利润为z万元,则有
z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,由图形可知,当直线z=3x+4y经过点A(2,3)时,z取最大值,最大值为3×
2+4×
3=18.]
[思想与方法]
1.确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界,特殊点定域”.
(1)直线定界:
即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;
若不等式含有等号,把直线画成实线.
(2)特殊点定域:
当C≠0时,常把原点作为测试点;
当C=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.
2.利用线性规划求最值的步骤是:
(1)在平面直角坐标系内作出可行域;
(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;
(3)确定最优解:
在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解;
(4)求最值:
将最优解代入目标函数求最值.
[易错与防范]
1.画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
2.求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,利用其几何意义,通过求y=-
的截距
的最值间接求出z的最值,要注意:
当b>
0时,截距
取最大值时,z也取最大值;
截距
取最小值时,z也取最小值.当b<
0时,结论与b>
0的情形恰好相反.