1993考研数三真题及解析文档格式.docx
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设z=fx,y是由方程z—y—x・xez_y」=O所确定的二元函数,求dz.
四、(本题满分7分)
-be小c
f4x2edx,求常数a的值.
1
(d-p),其中C为成本,qe
五、(本题满分9分)
设某产品的成本函数为aq2bqc,需求函数为q
为需求量(即产量),p为单价,a,b,c,d,e都是正的常数,且db,求:
(1)利润最大时的产量及最大利润
(2)需求对价格的弹性;
(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.
六、(本题满分8分)
假设:
(1)函数y二f(x)(O沁:
二)满足条件f(0)=0和0<
f(x)<
ex-1;
⑵平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex-1分别相交于点R和
R;
(3)曲线y=f(x),直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段RP2的
长度•
求函数y二f(x)的表达式.
七、(本题满分6分)
假设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点A(0,f(0))与B(1,f
(1))的直线与曲线y二f(x)相交于点C(c,f(c)),其中0*c<
1.
证明:
在(0,1)内至少存在一点•,使「()=0.
八、(本题满分10分)
k为何值时,线性方程组.
\XiX2kx3二4,
I2
-Xikx2X3二k,
Xi■-X22X34
有惟一解,无解,有无穷多组解?
在有解情况下,求出其全部解•
九、(本题满分9分)
设二次型
f=X:
x;
2x1x22x2x32X\X3
经正交变换X二PY化成f•2y;
,其中X=(为,x;
X3)T和丫=(%,y;
丫3)丁是三
维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数\<
十、(本题满分8分)
设随机变量X和Y同分布,X的概率密度为
3x2,0cxc2,
f(x)=」8
f、x0,、其他•3
(1)已知事件A='
Xa‘和B「・Yaf独立,且PAUB=2求常数a.
4
(2)求」y的数学期望.
X
假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数Nt服从参数为t
的泊松分布•
(1)求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布;
⑵求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
Slsint3x256x3
极限llm-=lim1,^nllm2洛llm,
X性2t_°
)tM?
^5x+3x=F10x5
3XX5236
所以limxsin21.
xY5x+3x55
(2)
【答案】
3x_212
【解析】令gx=汇£
则有g0一1©
x,则g0=3,
3x+2(3x+2)
由复合函数求导法则知
由于rA=2,说明A中3阶子式全为0,于是A的代数余子式Aj三0,故
所以秩rA*=0.
注:
按定义
【解析】
此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信
区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.
X_PL因X的方差为▽=1,设X的期望为》,则uN(0,1).
当置信度为1^=0.95,时〉=0.05,有正态分布表知U:
.二Uo.o25=1.96.因此用公
2
式:
—金孕吩脾.
将x=5,;
「=1,n=100,U-.=1.96代入上式,得到所求的置信区间为
I=(4.804,5.196).
、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1)
(C)
【解析】利用函数连续定义判定.
由于当x—0时,sin丄为有界变量“x为无穷小量,则
x
哩f(X戶四胸sinA=0,且f(0)=0.
一xsin\11
xlim-二sin三不存在,所以xTJxx
于是fx在x=0处连续1故(A)(B)不正确.
Vxsinp-f(0)又因为limxlim—
TX_0T十
fx在x=0处不可导,所以选(C).
limf(x)=limf(x)=f(x0).
X淤0亠X>
XD■■
X-7
⑵【答案】
(A)
【解析】Fx=flnxl-fi】I-
xlxA
【相关知识点】积分上限函数的求导公式:
色应f(tdt=f(B(x)R(x)-f(G(X)W(X).
dx■'
⑶【答案】
(B)
【解析】aL「=A有n个线性无关的特征向量.
由于当特征值’广’2时,特征向量?
1<
'
2线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.
因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重
数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应
选(B).
⑷【答案】
(D)
【解析】P(BA)=1的充分必要条件是FLAB}"
即P(AB)=P(A).显然四个
P(A)
选项中,当AUB时,AB=A,可得P(AB)=P(A).因此AUB是P(BA)=1的充分条件•因此选(D).
⑸【答案】
【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知
识•由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有
-axma:
-
F(-a)=J(x)dx…J(t)dt=a"
x)dx,
随机变量X的密度函数为(x),则「(x)dx=1,又由于,-x)二(x)所以
0■'
-■1
「(x)dx二:
:
(x)dx=—,(偶函数积分的性质)
02
_a0aHuC1
即(x)dx亠I"
(x)dx(x)dx(x)dx.
■a0a2
-aHuea1a
于是F(-a)=JJ(x)dx珂®
(x)dx=Jo®
(x)dx-貯(x)dx=?
-Jo®
(x)dx.故应选(B).
【解析】方法一:
利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得
dz-dy-dxe^^dxxez4dz-dy-dx=0.
整理后得1xez」》dz=1xez4-ez4dx1xez—y»
dy.
方法二:
应先求出函数对x,y的偏导数,将z-y-x,xez*=0两边分别对x,y求
偏导,
Zx-1xez^"
zx-1=0,
zy-1xez^^Zy-1=0,
2a2-2a2a
由e2ae2ae
-e'
a,得a2,a=0所以a=0或a=1.
【解析】⑴利润函数为
22
L=pq_C=(d「eq)q_(aqbqc)=(d-b)q_(ea)q-c,
对q求导,并令dL=0,得dL=(d-b)-2(ea)q=0,得q=-d——.
2dqdq2(e+a)
d2Id—b
因为雪=-2(ea):
0,所以,当q二旦旦时为利润函数的极大值点,根据题意dq2(e2+a)
也是利润的最大值点所以Lmax=4^-C.
4(e+a)
eq
⑵因为q(p)」(d-p),所以q(p)=…1,故需求对价格的弹性为=卫qJ—-
eeq
⑶由=1,得q
d
2e.
【解析】由题设可得示意图如右•设R(x,f(x)),P2(x,eX-1),则S=RP2,
即[f(t)dt=ex—1_f(x).
两端求导,得f(x)=ex一f(x),即f(x)f(x)=ex.
由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得
_-p(x)dxp(x)dx
f(x)=e(q(x)edxC)
=e(exedxC)=(exexdxC)e」=Ce」:
ex.
由初始条件f(0)=0,得C=--.因此,所求函数为f(x)=-(ex-e」).
【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y*p(x)y二q(x)的通解公式为:
y之一少皿(q(x)eP^dxC),其中C为常数.
【解析】因为f(x)分别在[0,c]和[c,1]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在
i(0,c),2(c,1),使得
c—01—c
由于点C在弦AB上,故有卫f
(1)_f(0),
c—01—c1—0
从而f
(1)=f
(2)=f
(1)-f(0).
这表明f(x)在区间[1,;
]上满足罗尔定理的条件,于是存在一(1,2)(0,1),使
f(H0.
【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换
(1)当k=-1且k=4时,r(A)=r(A)=3,方程组有唯一解,即
-2k
X3二
k22kk22k4
捲=,x2二
k1k1
⑵当k=「1时,r(A)=3,r(A)二2方程组无解.
_1_12:
的;
10⑶当k=4时有A=022[8t
-000^0因为r(A)二r(A)=2:
3方程组有无穷多解
01
4.
取X3为自由变量,得方程组的特解为:
=(0,4,0)T.
又导出组的基础解系为=(-3,-1,1几所以方程组的通解为〉・k,其中k为任意
常数.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理:
设A是mn矩阵,线性方程组Ax二b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A二Ab的秩,即r(A^r(A).(或者说,b可由A的列向量:
sdJH,〉线表出,亦等同于:
1/'
2^L:
n与>
1,〉2,lH「n,b是等价向量组)
设A是mn矩阵,线性方程组Ax二b,则
(1)有唯一解二r