中考数学 第二部分 专题综合强化 专题三 圆的相关证明与计算针对训练Word文档下载推荐.docx

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在Rt△AOG中，∵OA＝2AG，

∴∠AOG＝30°

，∴∠BOD＝60°

则的长度为＝.

2．（xx·

赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.

BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠DAC，

∴∠ODA＝∠DAC，

∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°

∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

连接OE，OE交AD于K，

∵＝，∴OE⊥AD．

∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°

∴△AKO≌△AKE（ASA），∴AO＝AE＝OE，

∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°

∴S阴影＝S扇形OAE－S△AOE＝－×

22＝－.

3．（xx·

咸宁）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.

DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝2，BC＝，求DE的长．

∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°

.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝45°

，∴∠AOD＝90°

∵DE∥AC，

∴∠ODE＝∠AOD＝90°

∴DE是⊙O的切线．

∵在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，

∴AC＝＝5，∴OD＝.

∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，

∴tan∠CEG＝tan∠ACB，

∴＝，即＝，

解得GE＝，∴DE＝DG＋GE＝.

4．（xx·

莱芜）如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．

CD是⊙O的切线；

（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG＝3，求⊙O的半径．

连接OC，如答图，

∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD．

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，

而CD⊥AB，∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

连接OE交AB于H，如答图，

∵E为的中点，∴OE⊥AB．

∵∠ABE＝∠AFE，

∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝，

∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝＝，

∴设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x.

∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，

在Rt△EHG中，x2＋（3x）2＝（3）2，解得x＝3，

∴EH＝9，BH＝12，

设⊙O的半径为r，则OH＝r－9，

在Rt△OHB中，（r－9）2＋122＝r2，解得r＝，

即⊙O的半径为.

类型2　与圆有关的双切线问题

北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．

OP⊥CD；

（2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°

，∠CBA＝70°

，OA＝2，求OP的长．

如答图，设PO与DC交于点Q，

∵PC，PD与⊙O相切于C，D，

∴PC＝PD，OP平分∠CPD，

在等腰△PCD中，PC＝PD，PQ平分∠CPD，

∴PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．

如答图，连接OC，OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA＝50°

∴∠AOD＝180°

－∠OAD－∠ODA＝

80°

同理：

∠BOC＝40°

∴∠COD＝180°

－∠AOD－∠BOC＝60°

在等腰△COD中，OC＝OD，OQ⊥CD，

∴∠DOQ＝∠COD＝30°

∵PD与⊙O相切于D，∴OD⊥DP，

∴∠ODP＝90°

在Rt△ODP中，∠ODP＝90°

，∠POD＝30°

∴OP＝＝＝＝.

黔西南）如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．

AB是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝，tan∠A＝，求AE的长．

连接OD，如答图，

∵ED∥OB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，

∵OD＝OE，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.

在△DOB与△COB中，

∴△DOB≌△COB（SAS），

∴∠ODB＝∠OCB．

∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°

∴∠ODB＝90°

，∴AB是⊙O的切线．

∵∠DEO＝∠2.

∴tan∠DEO＝tan∠2＝.

∵⊙O的半径为1，∴OC＝1，∴BC＝.

∵tan∠A＝＝，∴AC＝4BC＝4，

∴AE＝AC－CE＝4－2.

武汉）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB，PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．

PB是⊙O的切线；

（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值．

如答图，连接OP，OB．

∵PA是⊙O的切线，

∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO（SSS）．

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．

设OP交AB于K.

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°

，∴AB⊥BC．

∵PA，PB都是⊙O的切线，

∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.

∵OA＝OB，∴OP垂直平分线段AB，

∴OK∥BC．

∵AO＝OC，∴AK＝BK，

∴BC＝2OK，设OK＝a，则BC＝2a.

∵∠APC＝3∠BPC，∠APO＝∠OPB，

∴∠OPC＝∠BPC＝∠PCB，

∴BC＝PB＝PA＝2a.

∵△PAK∽△POA，∴PA2＝PK·

PO，设PK＝x，

则有x2＋ax－4a2＝0，

解得x＝a（负根舍去），

∴PK＝a.

∵PK∥BC，∴＝＝.

襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE.

DA＝DE；

（2）若AB＝6，CD＝4，求图中阴影部分的面积．

如答图，连接OE，OC，BE.

∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．

∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，

∴∠OBC＝∠OEC．

∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°

∵OE为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．

∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE.

如答图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，

∴AD＝BF，DF＝AB＝6，

∴DC＝BC＋AD＝4.

∵FC＝＝2，

∴BC＋AD＝BF＋FC＋AD＝AD＋FC＋AD＝2AD＋2＝4，∴AD＝，

∴BC＝BF＋FC＝AD＋FC＝＋2＝3，

在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，

∴∠BOC＝60°

在△OEC和△OBC中，

∴△OEC≌△OBC（SSS），

∴∠BOE＝2∠BOC＝120°

∴S阴影＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×

BC·

OB－＝9－3π.

5．（xx·

新疆）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E.

（2）若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．

如答图，连接OB．

∵PO⊥AB，∴AC＝BC，∴PA＝PB，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠OBP＝∠OAP＝90°

∴PB是⊙O的切线．

连接BD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°

∵∠ACO＝90°

∴BD∥PO，且BD＝2OC＝6，

在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝5，

在Rt△ACO和Rt△PAO中，

∴△ACO∽△PAO，

∴＝，＝，∴PO＝，PA＝，

∴PB＝PA＝，

在△EPO与△EBD中，∵BD∥PO，

∴△EPO∽△EBD，∴＝，

解得EB＝，PE＝，

∴sinE＝＝.

类型3　与圆有关的弦切角问题

金华）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．

AD是⊙O的切线．

（2）若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．

∵OB＝OD，∴∠3＝∠B．

∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3.

∵在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°

∴∠4＝180°

－（∠2＋∠3）＝90°

，∴OD⊥AD，

∴AD是⊙O的切线．

设⊙O的半径为r，

在Rt△ABC中，AC＝BC·

tanB＝4，

根据勾股定理得AB＝＝4，

∴OA＝4－r.

在Rt△ACD中，∵tan∠1＝tanB＝，

∴CD＝AC·

tan∠1＝2，

根据勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，

在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即（4－r）2＝r2＋20，解得r＝.

玉林）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．

AC是⊙O的切线；

（2）点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°

∴∠B＋∠BAD＝90°

∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°

，∴∠BAC＝90°

，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．

∵∠BCE＝∠B，

∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，

在Rt△ABC中，∵tan∠B＝＝，AB＝8，∴AC＝4.

在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，

∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，∴CE＝5.

齐齐哈尔）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．

（2）若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°

，∴∠A＋∠ABD＝90°

∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，

∴∠DBC＋∠ABD＝90°

，∴BC是⊙O的切线．

如答图，连接OD，∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°

∴∠CBD＝∠FBD．