第二章 一维随机变量及其分布Word格式.docx
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比如:
将一枚硬币抛三次，以
表示三次投掷中出现正面
的总次数，那么,对于样本空间
中的每一个样本点
，
都有一个值与之对应，即
样本点
的值
3
2
２
2
1
1
1
0
二、随机变量的分布函数
２.1随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量）
陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
●分布函数定义形式的渊源
一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率
由于当
所以，我们只须定义一个
形式就可以了,其他区间形式都可以用它表示出来。
于是定义：
为
的分布函数。
它就是
落在任意区间
上的概率，本质上是一个累积函数。
具有下列重要性质:
●单凋不减;
因为区间越大,概率越大。
●
；
上述全部可能的表示中,只有
但
，因为假如
那么,当离散型在
点的概率不为零时，等式
就会出现矛盾，故
不可能左连续。
又，上式中根本不可能出现
的形式,
对上述５种关系没有任何影响，即
右连续。
当然，由于连续型在一点的概率恒为零，所以,连续型分布函数左连续和右连续同时成立。
正是要求
右连续,才使
成为分布函数的普适定义。
评 注 分布函数可以描述任何类型的随机变量，不仅可以描述连续型,还可以描述离散型及其其他非连续型,但不同的随机变量可以有相同的分布函数。
对连续型任一点的概率等于零，而对非连续型任一点的概率不一定等于零。
我们要重点掌握离散和连续两类随机变量的分布规律。
注意，存在分布函数
等类型，既非离散型又非连续型。
2.２离散型随机变量的分布律（概率）
当随机变量所取的有限个或可列个值，能够按照由小到大的顺序排列时,称为离散型随机变量。
设离散型随机变量
的可能取值为
，事件
的概率为
称为离散分布律。
注意:
。
要求掌握的离散性分布律有5种：
分布,伯努利二项分布,泊松分布，几何分布和超几何分布。
评 注离散分布函数
一般为阶梯函数。
已知离散分布函数
根据分布函数的性质,可以计算出离散分布律
反过来,已知离散分布律
根据一维直角分割法,可以计算出离散分布函数
2.3连续型随机变量的概率密度（分布密度）
称为连续分布函数
称为概率密度，或分布密度。
●连续型
是连续函数,即：
;
● 连续型
几何意义是面积,且：
●
●要求掌握的连续型分布函共有３种:
均匀分布，指数分布和正态分布。
陈氏第３技 常年考点用到的5个重要结论。
只有存在概率密度（不恒为零）的随机变量才称为连续型,但不能错误认为分布函数连续的随机变量为连续型。
如分布函数
就不是连续型。
若
均是分布函数,则当
时
和
仍然为分布函数。
均是分布函数，则当
时
仍然为分布函数，但
不一定是分布函数。
如果
为连续型,则
也是连续型，且
若如果
为离散型,则
却不一定为离散型，如
服从泊松分布，
就不再是泊松分布。
普适分布函数和离散型分布函数右连续;
连续型分布函数左右都连续;
但密度函数不
一定连续，而且一般规定:
区间端点（注意不是分界点）处密度函数值取零。
2.4离散型与连续型随机变量的关系
可见，积分元
在在连续型随机变量理论中与
在离散型随机变量理论中所起的作用地位相同,这与微分的几何意义完全一致。
2．5 一维随机变量的8大分布（5＋3分布）
（１）两点分布（又称0-１分布）
模 型:
伯努利试验变量
只有两种可能结果,随机变量
使用0与1两种取值。
如每次
发生的概率为
共试验了1次,求其中
发生的概率（放回抽样）。
0-1分布为:
（2）伯努利二项分布
模型：
随机试验结果只有两种，如每次
共试验了
次,求其中
发生
次的概率（放回抽样）。
（3）泊松分布
满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。
（1）在时间
内流过质点数的概率仅与
有关，与t无关；
（2）不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立;
（3）在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过,要流过２个或2个以上质点几乎是不可能的。
可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。
例如：
单位时间内放射性物质放射出的粒子数;
单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数；
单位时间内走进商店的顾客数等等;
均可认为它们服从泊松分布。
很小。
【例1】某人进行射击，命中率0．001，独立射击5000次,求射击中次数不少于两次的概率。
解:
服从二项分布,但由于次数很大，可用泊松分布计算
（4）几何分布
模型:
试验一直继续，直到
发生为止，求第
次（放回抽样）
才发生的概率。
【例2】袋中有
个白球，
个红球，从袋中先后取出
个球,放回,求第
次取到白球的概率。
解：
服从几何分布
【例3】5把钥匙，只有一把能开锁，如果某次打不开仍不扔掉（放回），求下列事件的概率。
（１）第一次打开；
（2）第二次打开;
（３）第三次打开;
（5）超几何分布
随机试验结果只有两种,如
件产品,其中有
件次品，从中取
件（不放回和放回抽样结果相等）,含有
个次品的概率。
【例4】袋中有
个白球,
个红球,从袋中先后取
个球,求含有
个白球和
红球概率。
服从超几何分布
放回抽样:
不放回抽样:
可见:
超几何分布遵循抽签原理。
（6）均匀分布
模型：
设随即变量
的值落在
内，其内取值具有“等可能”性，即其密度分布
在
上为常数
即
【例5】若
服从
上的均匀分布,求方程
有实根的概率。
有实根，则
则
有实根的概率
（７）指数分布
在实践中,如果随机变量
表示某一随机事件发生所需等待的时间,则一般
例如，某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）;
随机服务系统中的服务时间；
在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。
ﻫ指数分布计算中常用到
函数:
如
等等。
【例6】指数分布的特点是:
“无记忆性”,即
试证明之。
证明：
（8）正态分布
●
模 型：
在实践中，如果随机变量
表示许许多多均匀微小随机因素的总效应,则它通常将近似地服从正态分布，如：
测量产生的误差;
弹着点的位置;
噪声电压;
产品的尺寸等等均可认为近似地服从正态分布。
尽管它来源于连续型,但它是任何分布的极限分布，而且，根据中心极限定理,若干个未知分布的随机变量之和近似地服从正态分布,它是数理统计的基础，是概数中的第一大分布。
● 当
称为标准正态分布。
此时分布函数为
评注8大分布产生的背景如下，伯努利试验产生的分布有：
分布,
泊松流产生的分布有:
误差产生的分布有：
【例7】证明
（重要结论,务必记住）
证明:
根据概率定义来证明。
设
，大写
表示随机变量，小写
表示随机变量
取到的值。
【例8】设随机变量
均服从
若概率
，求
令
分位数:
如无特别说明,正态分布专指下分位数;
三个抽样分布专指上分为数。
（1）上分位数
（2）下分位数
评注 无论哪种分位数，对标准正态分布都有:
标准正态分布的查表中使用的
是下分位数。
其他三种抽样分布的查表中则使用的是上分位数,即：
参见浙大三版附表2~５。
三、一维随机变量函数的分布函数
３.1离散型
陈氏第4技采用〖一维直角分割法〗计算一维分布函数。
如计算
区间的
，先在
区间内任取一点
然后，由
点向数轴左边（往左边画是为了满足
的分布函数定义）画一个直角区域，该直角区域与样本空间的交集就是所求的
即把该直角区域包含全部样本点的概率相加，如为连续则相加变为积分。
〖直角分割法〗也适应二维分布,由
点向平面左下方画一个直角区域即可。
【例9】设
的分布函数为
求
的概率分布。
由于
要求右连续，故等号必须加在
号上。
又由于每一区间的
为常数,故
具有离散型特征。
处有第一类跳跃间断点,即
在这些点的概率不为零,即正概率点存在。
根据〖直角分割法〗，计算如下
的概率分布（即离散分布律）为
1
3
【例10】设随机变量
的分布为
-1
2
0.２5
0.15
０.35
当
时，求
的分布函数
的分布。
上表显然为离散分布正概率点的值。
根据概率归一化:
利用直角分割法,如计算区间
的
，其余区间类推，故：
评注 由于分布函数右连续，故等号位置不能放在小于号上。
）
8
０.４5
0.05
【例11】已知随机变量Ｘ的分布律为
０.2
0.1
求
的分布律。
的所有可能取值为ﻩ
1（将
的所有取值代入
得到）
0．３
０.7
３．2连续型
具有连续概率密度
处处可导，且
不变号,则
的概率密度为：
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