第二章 一维随机变量及其分布Word格式.docx

1、比如:将一枚硬币抛三次，以表示三次投掷中出现正面的总次数，那么,对于样本空间中的每一个样本点，都有一个值与之对应，即样本点的值 3 2 2 1 1 1 0二、随机变量的分布函数.1 随机变量的分布函数（适合任何类型的随即变量） 陈氏第2技 随机变量的分布函数的全新揭秘。 分布函数定义形式的渊源一般情况下，人们只对某个区间内的概率感兴趣，即研究下列四种可能的区间的概率 由于当 所以，我们只须定义一个形式就可以了,其他区间形式都可以用它表示出来。于是定义：为的分布函数。它就是落在任意区间上的概率，本质上是一个累积函数。具有下列重要性质: 单凋不减;因为区间越大,概率越大。 ； 上述全部可能的表示中

2、,只有,但，因为假如 ,那么,当离散型在点的概率不为零时，等式就会出现矛盾，故不可能左连续。 又，上式中根本不可能出现的形式,对上述种关系没有任何影响，即右连续。当然，由于连续型在一点的概率恒为零，所以,连续型分布函数左连续和右连续同时成立。正是要求右连续,才使成为分布函数的普适定义。评注分布函数可以描述任何类型的随机变量，不仅可以描述连续型,还可以描述离散型及其其他非连续型,但不同的随机变量可以有相同的分布函数。对连续型任一点的概率等于零，而对非连续型任一点的概率不一定等于零。我们要重点掌握离散和连续两类随机变量的分布规律。注意，存在分布函数等类型，既非离散型又非连续型。2. 离散型随机变量

3、的分布律（概率） 当随机变量所取的有限个或可列个值，能够按照由小到大的顺序排列时,称为离散型随机变量。 设离散型随机变量的可能取值为，事件的概率为 称为离散分布律。注意 :。要求掌握的离散性分布律有5种：分布,伯努利二项分布,泊松分布，几何分布和超几何分布。 评注 离散分布函数一般为阶梯函数。已知离散分布函数,根据分布函数的性质,可以计算出离散分布律反过来,已知离散分布律,根据一维直角分割法,可以计算出离散分布函数2.3 连续型随机变量的概率密度（分布密度） 称为连续分布函数 称为概率密度，或分布密度。 连续型是连续函数,即：; 连续型几何意义是面积,且： 要求掌握的连续型分布函共有种:均匀分

4、布，指数分布和正态分布。陈氏第技常年考点用到的 5个重要结论。 只有存在概率密度（不恒为零）的随机变量才称为连续型,但不能错误认为分布函数连续的随机变量为连续型。如分布函数 就不是连续型。 若均是分布函数,则当 时 和仍然为分布函数 。均是分布函数，则当 时仍然为分布函数，但不一定是分布函数。 如果为连续型,则也是连续型，且,若如果为离散型,则却不一定为离散型，如服从泊松分布，就不再是泊松分布。 普适分布函数和离散型分布函数右连续;连续型分布函数左右都连续;但密度函数不一定连续，而且一般规定:区间端点（注意不是分界点）处密度函数值取零。2.4 离散型与连续型随机变量的关系可见，积分元在在连续型

5、随机变量理论中与在离散型随机变量理论中所起的作用地位相同,这与微分的几何意义完全一致。25一维随机变量的8大分布（53分布）（） 两点分布（又称0-分布）模型:伯努利试验变量只有两种可能结果,随机变量使用0与1 两种取值。如每次发生的概率为,共试验了1次,求其中发生的概率（放回抽样）。 0-1分布为:（2）伯努利二项分布模 型：随机试验结果只有两种，如每次,共试验了次,求其中发生次的概率（放回抽样）。（3）泊松分布满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。 （1）在时间 内流过质点数的概率仅与有关，与t无关； （2）不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立;（3）在充分短的一瞬间

6、只能流过一个或没有质点流过,要流过个或2个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数;单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数； 单位时间内走进商店的顾客数等等;均可认为它们服从泊松分布。,很小。【例1】某人进行射击，命中率0001，独立射击5000次,求射击中次数不少于两次的概率。解:服从二项分布,但由于次数很大，可用泊松分布计算（4）几何分布模 型:,试验一直继续，直到发生为止，求第次（放回抽样）才发生的概率。【例2】袋中有个白球，个红球，从袋中先后取出个球,放回,求第次取到白球的概率。解：服从几何分布【例3】5把钥匙，

7、只有一把能开锁，如果某次打不开仍不扔掉（放回），求下列事件的概率。（）第一次打开；（2）第二次打开;（）第三次打开;（5）超几何分布随机试验结果只有两种,如件产品,其中有件次品，从中取件（不放回和放回抽样结果相等）,含有个次品的概率。【例4】袋中有个白球,个红球,从袋中先后取个球,求含有个白球和红球概率。服从超几何分布 放回抽样:不放回抽样:可见:超几何分布遵循抽签原理。（6）均匀分布 模型：设随即变量的值落在内，其内取值具有“等可能”性，即其密度分布在上为常数,即 【例5】若服从上的均匀分布,求方程有实根的概率。有实根，则则有实根的概率（）指数分布在实践中,如果随机变量表示某一随机事件发生所

8、需等待的时间,则一般例如，某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）;随机服务系统中的服务时间；在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。 指数分布计算中常用到函数:如 等等。【例6】指数分布的特点是:“无记忆性”,即试证明之。证明：（8）正态分布模型：在实践中，如果随机变量表示许许多多均匀微小随机因素的总效应,则它通常将近似地服从正态分布，如：测量产生的误差;弹着点的位置;噪声电压;产品的尺寸等等均可认为近似地服从正态分布。尽管它来源于连续型,但它是任何分布的极限分布，而且，根据中心极限定理,若干个未知分布的随机变量之和近似地服从正态分布,它是数理统计的基础，是概数中的第一大分布。当

9、,称为标准正态分布。此时分布函数为评 注 8大分布产生的背景如下，伯努利试验产生的分布有：分布,泊松流产生的分布有:误差产生的分布有：【例7】证明（重要结论,务必记住） 证明:根据概率定义来证明。 设 ，大写表示随机变量，小写表示随机变量取到的值。【例8】设随机变量均服从,若概率，求令 分位数:如无特别说明,正态分布专指下分位数;三个抽样分布专指上分为数。（1）上分位数 （2）下分位数 评 注无论哪种分位数，对标准正态分布都有:标准正态分布的查表中使用的是下分位数。其他三种抽样分布的查表中则使用的是上分位数,即： 参见浙大三版附表2。三、一维随机变量函数的分布函数 .1 离散型陈氏第4技 采用

10、一维直角分割法计算一维分布函数。 如计算区间的，先在区间内任取一点,然后，由点向数轴左边（往左边画是为了满足的分布函数定义）画一个直角区域，该直角区域与样本空间的交集就是所求的,即把该直角区域包含全部样本点的概率相加， 如为连续则相加变为积分。直角分割法也适应二维分布,由点向平面左下方画一个直角区域即可。【例9】设的分布函数为,求的概率分布。由于要求右连续，故等号必须加在号上。又由于每一区间的为常数,故具有离散型特征。处有第一类跳跃间断点,即在这些点的概率不为零,即正概率点存在。根据直角分割法，计算如下的概率分布（即离散分布律）为13【例10】设随机变量的分布为-120.50.15.35当时，求的分布函数的分布。上表显然为离散分布正概率点的值。根据概率归一化: 利用直角分割法,如计算区间的，其余区间类推，故： 评 注 由于分布函数右连续，故等号位置不能放在小于号上。）8.50.05【例11】已知随机变量的分布律为.20.1求的分布律。的所有可能取值为,1 （将的所有取值代入得到）0.7 2 连续型具有连续概率密度处处可导，且不变号,则的概率密度为：