普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷3含答案.docx

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普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷3含答案

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标m）

理科数学

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.已知集合A=（x,y）|x2y21,B=（x,y）|yx,则AIB中元素的个数为

A.3B.2C.1D.0

2.设复数z满足（1+i）z=2i,则IzI=

A.1B.停C.2D.2

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期

间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4.（x+y）（2x-y）5的展开式中x3y3的系数为

5.

A.-80

B.-40

C.40

D.80

2x

已知双曲线C:

-2

a

2y_b2

1（a>0,b>0）的一条渐近线方程为

2x

12

2

—1有公共

3

焦点，则

c的方程为

2

A.—

8

2

L1

10

B.

C.

2xD.—

4

2y

3

6.

设函数f（x）=cos（x+—）,则下列结论错误的是

A.f（x）的一个周期为-2兀

B.y=f（x）的图像关于直线

x=

3

C.f（x+Tt）的一个零点为x=-

6

D.f（x）在（_,兀）单调递减

2

7.

执行下面的程序框图，为使输出

A.5

8.4

S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为

8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A.冗B.红C.-D.」

9.等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,S3,a6成等比数列，则4前6项的和为

A.-24B.-3C.3D.8

22

xy

10.已知椭圆C：

二上21，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1,A且以线段A1A2为直径的圆与直线

ab

bxay2ab0相切，则C的离心率为

A.

B.

c-2

3

D.

11.已知函数f（x）

x22xa（ex1ex1）有唯一零点，则a=

A.

B.

C.

12.在矩形ABCD43,

AB=1,AD=2动点P在以点C为圆心且与

D.1uuu

BD相切的圆上.若AP=

uuruuu

AB+AD,

则+的最大值为

A.3B.2、,2C..5D.2

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

xy0

13.若x,y满足约束条件xy20,则z3x4y的最小值为.y0

14.设等比数列an满足a+a2=-1,a-a3=-3,贝Ua4=.

..x1,x0

15.设函数f（x）则满足f（x）f（x-）1的x的取值范围是。

2x,x0,、，、2，

16.

b都垂直，斜边

每个试题考生

a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC勺直角边AC所在直线与a,

AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45。

；

④直线AB与a所成角的最小值为60。

；

其中正确的是。

（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题,

都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17.（12分）

△ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+J3cosA=0,a=2J7,b=2.

（1）求c;

（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求^ABD勺面积.

18.（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶

降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

C）

有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

[10,15）

[15,20）

[20,25）

[25,30）

[30,35）

[35,40）

天数

2

16

36

25

7

4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：

瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位:

瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19.（12分）

如图，四面体ABCD\△ABC是正三角形，△AC*直角三角形，/AB®/CBDAB=BD

（1）证明：

平面ACD_平面ABC

（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEG巴四面体ABC/成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值.

20.（12分）

已知抛物线C：

y2=2x,过点（2,0）的直线l交C与AB两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4,-2）,求直线l与圆M的方程.

21..（12分）

已知函数f（x）=x-1-alnx.

（1）若

f（x）0

111

（2）设m为整数，且对于任息正整数n,（1+-）（1+「）K（1+f）

2222n

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.

［选彳4-4:

坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xOy中，直线11的参数方程为

为参数），直线12的参数方程为

（1）

（2）

m,

（m为参数）.设11与12的交点为P,

写出C的普通方程;

以坐标原点为极点,

当k变化时,

P的轨迹为曲线C.

x轴正半轴为极轴建立极坐标系,

设13：

p（cos0+sin0）->/2=0,M为13

与C的交点，求M的极径.

23.［选彳4-5:

不等式选讲］

（10分）

已知函数f（x）=x+1

（1）求不等式f（x）>1

的解集;

（2）若不等式f（x）>x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.

绝密★启用前

2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题正式答案

一、选择题

1.B2.C3.A4.C5.B6.D

7.D8.B9.A10.A11.C12.A

二、填空题

1

13.-114.-815.4'+16.②③

三、解答题

17.解：

（1）由已知得tanA=《所以A=2—

3

在△ABC中，由余弦定理得

222

284c4ccos—，即c+2c-24=0

3

解得c6（舍去），c=4

（2）有题设可得CAD=—,所以BAD

BACCAD—

6

1A

-ABgADgsin

故^ABD面积与△AC面积的比值为

1-

2ACAD

1

又△ABC的面积为2

42sin

BAC215,所以ABD勺面积为.3.

18.解:

（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知

216PX2000.2

90

36PX3000.4

90

2574PX5000.4

90.

因此x的分布列为

X

200

300

500

P

0.2

0.4

0.4

⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200wn<500

当300wn<500时，

若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n

若最高气温位于区间20,,25，则Y=6X300+2（n-300）-4n=1200-2n;

若最高气温低于20,则Y=6X200+2（n-200）-4n=800-2n;

因此EY=2nX0.4+（1200-2n）X0.4+（800-2n）X0.2=640-0.4n

当200Wn300时，

若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20,则Y=6X200+2（n-200）-4n=800-2n;

因此EY=2nX（0.4+0.4）+（800-2n）X0.2=160+1.2n

所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19.解:

（1）由题设可得，ABDCBD,从而ADDC

又ACD是直角三角形，所以ACD=900

取AC勺中点O,连接DO,BO,则DOLAC,DO=AO

又由于ABC是正三角形，故BOAC

所以DOB为二面角DACB的平面角

在RtAOB中，BO2AO2AB2

又ABBD,所以

BO2DO2BO2AO2AB2BD2,故DOB=90

所以平面ACD平面ABC

（2）

由题设及

（1）知，oaobod两两垂直，以o为坐标原点,

uuA的方向为x轴正方向,

umr

OA

为单位长,

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则

A1,0,0）,R0,岔01C1,0,0）,D（0,0,1）

由题设知，四面体ABCE勺体积为四面体ABCM体积的

1

-,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距

2

「31

即E为DB的中点，得E0,^-,-.故

uuur

AD

1,0,1

uuur

AC

uur

2,0,0,AE

d..31

1,—

22

x,y,z

是平面DAE的法向量,

uuurngADuuuingAE

;即

2z0

3

可取n=1,一,1

3

设m是平面AEC的法向量，则

uurmgACuuumgAE

°，「

同理可得m

0,

0,

1,J3

贝Ucosn,m

ngm7

1n|m7

所以二面角D-AE-C的余弦值为

20.解

my

（1）设Ax1,y1,Bx2,y2,l:

x

xmy2一,-2

由,可得y22my40,则y1y24

y22x

2