广东省普宁华侨中学届高三摸底考试数学文.docx
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广东省普宁华侨中学届高三摸底考试数学文
2019学年度广东省普宁市普宁华侨中学高三摸底考试试题
文科数学
参考公式：
棱锥的体积公式：
．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集，集合，，那么（）
A．B．C．D．
2．函数是（）
A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数
3．（其中）的图象如图1所示，则函数的图象是图2中的（）
图1图2
4．已知，i是虚数单位，且则的值是（）
A．2B．C．D．
5．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若则B．若则
C．若则D．若则
6．设变量满足约束条件：
，则的最小值为（）
A．B．C．D．
7．已知数列的前项和，则=（）
A．36B．35C．34D．33
8．在中，角所对的边分别为，若，
，则（）
A．B．
C．D．
9．若右边的程序框图输出的是126，则条件①可为（）
A．B．C．D．
10．设向量，，定义一运算：
已知，。
点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）
11．设平面向量，则．
12．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取100人，则应在高三级中抽取的学生人数为.
高一级
高二级
高三级
女生
375
x
y
男生
385
360
z
13．已知函数，则．
★（请考生在以下二个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）
14．（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆的极坐标方程是，则它的圆心到直线：
（为参数）的距离等于.
15．（几何证明选讲选做题）如右图，从圆外一点引圆
的切线和割线，已知，，
圆的半径为，则圆心到直线的距离为．
三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）
16．（本小题满分12分）
已知向量，，函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．
17．（本小题满分12分）
某校从高三年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考
试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分
成六段：
，，…，后得到如图4的
频率分布直方图．
（1）求图中实数的值；
（2）若该校高三年级共有学生640人，试估计该校高三年级
期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学
生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差
的绝对值不大于10的概率．
18．（本小题满分14分）
如图：
、是以为直径的圆上两点，，，是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.
（1）求证：
平面；
（2）求证：
平面；
（3）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分14分）
设数列的前项和为，，且对任意正整数，点在直线上．
⑴求数列的通项公式；
⑵若，求数列的前项和．
20．（本小题满分14分）
已知点是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为，椭圆的左右焦点分别为和。
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）点M在椭圆上，求⊿MF1F2面积的最大值；
（Ⅲ）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；
（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．
2019学年度广东省普宁市普宁华侨中学高三摸底考试文科数学参考答案
一．选择题（10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
D
A
C
C
B
B
C
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分）
11．12．2513．14．15．
三．解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
解：
（1）……2分
………4分
∴函数的最小周期………5分
（2）
是三角形内角，∴即：
………7分
∴即：
．………9分
将代入可得：
，解之得：
∴,………11分
∴，．………12分
17．（本小题满分12分）
（1）解：
由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以．………………………………………………1分
解得．……………………………………………………………………………………………2分
（2）解：
根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．…………3分
由于该校高三年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为人．…………………………………………………………………5分
（3）解：
成绩在分数段内的人数为人，分别记为，．……………………6分
成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，．…………………7分
若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，共15种．…………………………………………9分
如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，共7种．……………………11分
所以所求概率为．…………………………………………………………………………12分
18．（本题满分14分）
解：
（1）证明：
依题意：
…………………………2分
平面∴……………4分
∴平面．……………………5分
（2）证明：
中，，∴…………………………6分
中，，∴．…………………………7分
∴．…………………………………………………………8分
∴在平面外∴平面．…………10分
（3）解：
由题设知，,……………11分
∴………12分
平面∴．……14分
19．（本小题满分14分）
解：
⑴因为点在直线上，所以……1分，
当时，……2分，两式相减得
，即，……3分
又当时，，……4分
所以是首项，公比的等比数列……5分，
的通项公式为……6分．
⑵由⑴知，……7分，记数列的前项和为，则
……8分，
……9分，两式相减得
……11分，
……13分，
所以，数列的前项和为……14分．
20．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）设椭圆方程为.由已知，-------2分
，.解得-------4分
∴所求椭圆方程为-----------------5分
（Ⅱ）令，则------7分
∵，故的最大值为-----8分
∴当时，的最大值为。
-----9分
（Ⅲ）假设存在一点P,使，∴，---10分
∴⊿PF1F2为直角三角形，∴①-------11分
又∵②--------------12分
∴②2－①，得∴--------------13分
即=5，但由
（1）得最大值为，故矛盾，
∴不存在一点P,使--------------14分
21．（本题满分14分）
解：
（1）当时，，得．…1分
因为，所以当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．………4分
（2）方法1：
由，得，
因为对于任意都有成立，
即对于任意都有成立，
即对于任意都有成立，…………6分
令，要使对任意都有成立，
必须满足或………………………………………………8分
即或………………………………9分
所以实数的取值范围为．………………………10分
方法2：
由，得，
因为对于任意都有成立，
所以问题转化为，对于任意都有．………6分
因为，其图象开口向下，对称轴为．
①当时，即时，在上单调递减，
所以，由，得，此时．………………7分
②当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由，得，此时．……8分
综上①②可得，实数的取值范围为．……………10分
（3）设点是函数图象上的切点，
则过点的切线的斜率为，
所以过点的切线方程为．………11分
因为点在切线上，
所以，即．……………12分
若过点可作函数图象的三条不同切线，
则方程有三个不同的实数解．……………13分
令，则函数与轴有三个不同的交点．
令，解得或．
因为，，所以必须，即．
所以实数的取值范围为．……………14分
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