初中数学拔高九年级 专题23 圆与圆的位置关系含答案Word文件下载.docx

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一定满足的关系式为（）

A.

B.

C.

D.

（天津市竞赛试题）

从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线.

【例3】如图，已知两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D.求证：

（1）∠APD=∠BPD；

（2）

.（天津市中考试题）

对于

（1），作出相应辅助线；

对于

（2），应化简待证式的右边，不妨从AC·

BC=PC·

CD入手.

【例4】如图⊙O1和⊙O2相交于点A及B处，⊙O1的圆心落在⊙O2的圆周上，⊙O1的弦AC与⊙O2交于点D.求证：

O1D⊥BC.

（全俄中学生九年级竞赛试题）

连接AB，O1B，O1C，显然△O1BC为等腰三角形，若证O1D⊥BC，只需证明O1D平分∠BO1C.充分运用与圆相关的角.

【例5】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1,AB=2，DC=

，点P在边BC上运动（与B，C不重合）.设PC=

，四边形ABPD的面积为

.

（1）求

关于

的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

（2）若以D为圆心，

为半径作⊙D，以P为圆心，以PC的长为半径作⊙P，当

为何值时，⊙D与⊙P相切？

并求出这两圆相切时四边形ABPD的面积.（河南省中考题）

对于

（2），⊙P与⊙D既可外切，也可能内切，故需分类讨论，解题的关键是由相切两圆的性质建立关于

的方程.

【例6】如图，ABCD是边长为

的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求

的值.（全国初中数学联赛试题）

AB为两圆的公切线，BC为直径，怎样产生比例线段？

丰富的知识，不同的视角激活想象，可生成解题策略与方法.

【能力与训练】

A级

1.如图，⊙A，⊙B的圆心A，B在直线

上，两圆的半径都为1cm.开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A，⊙B同时沿直线

以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为_______秒.

（宁波市中考试题）

2.如图，O2是⊙O1上任意一点，⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，E为优弧AB上的一点，EO2及延长线交⊙O2于C，D，交AB于F，且CF＝1，EC＝2，那么⊙O2的半径为_______.

（四川省中考试题）

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

3.如图，半圆O的直径AB＝4,与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M.设⊙O1的半径为

，AM的长为

，则

与

的函数关系是_________________.（要求写出自变量

的取值范围）

（昆明市中考试题）

4.已知直径分别为

和

的两个圆，它们的圆心距为

，这两圆的公切线的条数是__________.

5.如图，⊙O1和⊙O2相交于点A，B，且⊙O2的圆心O2在圆⊙O1的圆上，P是⊙O2上一点.已知∠AO1B＝60°

，那么∠APB的度数是（）

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

（甘肃省中考试题）

6.如图，两圆相交于A、B两点，过点B的直线与两圆分别交于C，D两点.若⊙O1半径为

，⊙O2的半径为2，则AC：

AD为（）

A.

B.

C.

（第5题图）（第6题图）（第7题图）

7.如图，⊙O1和⊙O2外切于点T，它们的半径之比为3:

2，AB是它们的外公切线，A，B是切点，AB＝

，那么⊙O1和⊙O2的圆心距是（）

B.10C.

8.已知两圆的半径分别为R和

），圆心距为

.若关于

的方程

有两相等的实数根，那么这两圆的位置关系是（）

A.外切B.内切C.外离D.外切或内切

（连云港市中考试题）

9.如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点O1在⊙O2上，点C为⊙O1中优弧

上任意一点，直线CB交⊙O2于D，连接O1D.

（1）证明：

DO1⊥AC；

（2）若点C在劣弧

上，

（1）中的结论是否仍成立？

请在图中画出图形，并证明你的结论.

（大连市中考试题）

图1图2

10.如图，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，AB过点P且分别交⊙O1和⊙O2于点A，B，BH切⊙O2于点B，交⊙O1于点C，H.

（1）求证：

△BCP∽△HAP；

（2）若AP:

PB＝3：

2，且C为HB的中点，求HA:

BC.

（福州市中考试题）

11.如图，已知⊙B，⊙C的半径不等，且外切于点A，不过点A的一条公切线切⊙B于点D，切⊙C于点E，直线AF⊥DE，且与BC的垂直平分线交于点F.求证：

BC＝2AF.

（英国数学奥林匹克试题）

12.如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点.正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC得内切圆圆心O，且点E在半圆弧上.

（1）若正方形的顶点F也在半圆弧上，求半圆的半径与正方形边长的比；

（2）若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径

，求半圆的直径AB.

（杭州市中考试题）

B级

1.相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，这两圆的圆心距为_______.

2.如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C.若AB＝8，BC＝1，则AM＝_______.

（黑龙江省中考试题）

（第2题图）（第3题图）（第4题图）

3.已知圆环内直径为

cm，外直径为

cm，将50个这样的圆环一个接着一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm.

4.如图，已知PQ＝10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P.正方形ABCD的顶点A，B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q.若AB＝

，其中

为整数，则

___________.

（美国中学生数学邀请赛试题）

5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点M，且分正方形为4个三角形，⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4，分别为△AMB，△BMC，△CMD，△DMA的内切圆.已知AB＝1.则⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4所夹的中心（阴影）部分的面积为（）

A.

D.

（太原市竞赛试题）

（第5题图）（第6题图）（第7题图）

6.如图，⊙O1与⊙O2内切于点E，⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2，交⊙O2于点C，D.若AC：

CD:

BD＝2:

4:

3，则⊙O2与⊙O1的半径之比为（）

A.2:

3B.2:

5C.1:

3D.1:

4

7.如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O1与⊙O2的半径之比为（）

5B.1:

2C.1:

3D.2:

3

（全国初中数学联赛试题）

8.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.

（2）当AD与⊙O2相切且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长.（黄冈市中考试题）

9.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，切点为B，C.连接BA并延长交⊙O1于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E，F.

CD是⊙O1的直径；

（2）试判断线段BC，BE，BF的大小关系，并证明你的结论.（四川省中考试题）

10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径，大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F，AD，BE相交于点G，连接BD.

（1）求BD的长；

（2）求

的度数；

（3）求

的值.（淄博市中考试题）

11.如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1与△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P.求证：

P为CH的中点.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）

12.如图，已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C，以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M.求证：

MP分别与⊙A，⊙B相切.（“《数学周报杯”全国初中数学竞赛试题）

例1

提示：

连接

必过点O，则

⊥AB，设⊙

，⊙

的半径为xcm，在Rt△

中，有

，解得x=

例2D提示：

连接AB，

，作

⊥

，即

，得

，同理，

，由

得

，故

例3提示：

⑴过P点作两圆的公切线.⑵即证

.

例4

为

的平分线，又

例5⑴过D作DQ⊥BC于Q，则BQ=AD=1，AB=DQ=2，CQ=

（0<

x<

3）.

⑵分两种情况讨论：

①当⊙P与⊙D外切时，如图1，QC=2，PC=x，QP=

，PD=x+

，DQ=2，在Rt△DQP中，由

得，

②当⊙P与⊙D内切时，如图2，PC=x，QC=2，PQ=x-2，PD=x-

，DQ=2，在Rt△DPQ中，由

例6就图1给出解答：

连接CP并延长交AB于点Q，连接BP，得∠BPC90°

，又

，得AQ=QB=

AB，在Rt△CQP中，

.过Q作QM∥BC交AN于M，则MQ=

.由△MQP∽△NCP，得

＝

A级1．

或

2.23．y＝

＋x（0＜x＜4）4.3条5．D6．D　7．B　8．D　9．提示：

（1）连结AB，A

，并延长交⊙

于E，连结CE．

（2）结论仍然成立．10．

（1）略

（2）提示：

设AP＝3t，由BC·

BH＝BP·

BA，BH＝2BC，BC＝

t.易证△HAP∽△BAH，得HA＝

t，故

.11．连结BD，CE，作BM⊥CE于M，作HN⊥CE于N，则BM∥HN．∵H是BC的中点，故N是CM的中点，∴CN＝

CM＝

（CE－EM）＝

（CE－BD），而AH＝BH－AB＝

BC－AB＝

（AB＋AC）–AB＝

（AC－AB），因此CN＝AH．由CE⊥DE，AF⊥DE，得CE//AF，故∠NCH