东南大学信号与系统试题及答案.docx
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东南大学信号与系统试题及答案
东南大学考试卷（AB卷）
一、简单计算题（每题8分）：
Fj）=—2^^
1、已知某连续信号f（t）的傅里叶变换为2一'jS.，按照取
样间隔T=1对其进行取样得到离散时间序列f（k），序列f（k）的Z变换。
D|P
f（k）
2、已知某连续系统的特征多项式为：
D（s）=s73s66s510s411s39s26s2
试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？
32
3、已知某连续时间系统的系统函数为：
円林汽甘。
试给
出该系统的状态方程。
4、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数
二、（12分）已知系统框图如图（a）,输入信号e（t）的时域波形如图（b）,子系统h（t）的冲激响应波形如图（c）所示，信号f⑴的频谱为
F（j‘）二ejn「
n
o
图（b）图（c）
图（a）
试：
1）分别画出f（t）的频谱图和时域波形；
2）求输出响应y（t）并画出时域波形。
3）子系统h（t）是否是物理可实现的？
为什么？
请叙述理由;
三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为e（t）=欽t），在t=0和t=1
05
L=2H
时测得系统的输出为y（°）"，y
（1）=e.。
分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。
四（12分）、已知某离散系统的差分方程为
2y（k2）-3y（k1）y（k）二e（k1）
其初始状态为yzi（T）八2,yzi（-2）=-6，激励e（k）=；（k）；
求：
1）零输入响应yzi（k）、零状态响应yzs（k）及全响应y（k）；
2）指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；
3）判断该系统的稳定性。
h（k）=cos."丛］g（k）
五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应I2丿
1）求其系统函数H（z）;
2）粗略绘出该系统的幅频特性；
3）画出该系统的框图。
六、（10分）请叙述并证明z变换的卷积定理
答案
1、已知某连续信号f（t）的傅里叶变换为
T=1对其进行取样得到离散时间序列
1
1
F（j）-
2"金，按照取样间隔f（k），序列f（k）的z变换。
111
解法一：
f（t）的拉普拉斯变换为
F（）yR：
F（S）Z_F（z）=Z：
Resst
i^-e
解法二：
f（t）=LJ{F（jw）}=（e
S二
i
-t
F（S）_2s23s（s1）（s2）
KiZ
n
—sT4-2
ihZ-e'z-ez~e
-e^t）（t）
1k2k
f（k）=（e--e~k
F（z）=Z[f（k）]=
）（k）=（（e-）-心-））；（k）
zz
T
fS—X2仆f2（k）=1+cos』k〕L（k）
仙一込2,1和「一23的卷积和。
z-ez-e
2、求序列
解：
fi（k）={1,2,1}=、（k）+2、（k—1）+、（k—2）
fi（k）*f2（k）=f2（k）+2f2（k-1）+f2（k_2）
10z29z2，求该序列的时域表达式f（k）。
F（z）
3、已知某双边序列的Z变换为
11
F（z）:
解：
z0.4z-0.5，两个单阶极点为_0.4、_0.5
当收敛域为|z|>0.5时，f（k）=（（q4）k」_（_0.5）kJ）（k-1）当收敛域为0.4<|z|<0.5时，f（k）=（—0.4）k」；（k_1）+（-0.5）2（k）当收敛域为|z|<0.4时，f（k）=-（-0.4）kJ（_k）+（-0.5）k」（k）
点评：
此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。
4、已知某连续系统的特征多项式为：
765432
D（s）=s+3s+6s+10s+11s+9s+6s+2
试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？
解构作罗斯-霍维茨阵列
s
1
6
11
6
6s
3
10
9
2
5
8
8
16
0
s
3
3
4s
1
3
2
3s
（0
0）
此时岀现全零行，有辅助多项式s43s22
4
6
求导可得4s36s,以4,6代替全零行系数。
2
3
2
s
—
2
1
2
s
—
3
0s
2
由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明s右半平面无极点。
再由
s4+3s2+2=0
2
令s=x则有
X23x2=0
可解得相应地有
x--1,-2
2=-1=_j
更,4二一2=j、2
这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j.2，系统为临界稳定。
所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。
点评：
此题得分率很低。
很多学生对全零行不知如何处理。
32
、s+6s+4s+2
H（s）=—32
5、已知某连续时间系统的系统函数为：
s2ss1。
试给出该系统
的状态方程。
解：
系统的微分方程为
y（t）2y（t）y（t）y（t^e（t）6e（t）4e（t）2e（t）
取原来的辅助变量q及其各阶导数为状态变量并分别表示为q=xi、q^x2、q”=x3、
q'''=x3‘，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程
Xi—X2
X2'=X3
状态方程：
X3'「Xi-X2-2X3yt）
输出方程：
y=X32Xi4X26X3=Xi3X24X3e（t）
或者写成矩阵形式，上式即为
、（12分）已知系统框图如图（a）,输入信号e（t）的时域波形如图（b）,
2）y（t）=[e（t）f（t）]h（t）=[、.（t+2）+2、.（t）+、（t—2）]h（t）=h（t+2）+2h（t）+h（t2）
三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为弾）=环），在t=0和t=1时
05
测得系统的输出为y（°）T，y
（1）=e.。
分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。
L=2H
解：
1）电路满足KVL:
得
y（t）■1.5y（t）0.5y（t^0.5e（t）
0.5s111
-2~
Yzs（s）=H（s）E（s）=s1.5s0.5s=s0.5s1
零状态响应：
yzs（t）=（e耳⑸-e4）yzs（0）=0，yzs
（1）=（ef）；
yzi（0）=y（0）-yzs（0）=1，yzi
（1）=y
（1）-yzs
（1）=—e‘；
yzi（t）=（C1e^.5t+C2ej（t）,得C1=0，C2=1
零输入响应：
yzi（t）=e*（t）；
全响应：
y（t）=e°5t々）
失去少部分
点评：
此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答,分数。
四（12分）、已知某离散系统的差分方程为
2y（k2）-3y（k1）y（k）=e（k1）
其初始状态为yzi（-“，yzi（-2）=-6，激励e（k）二；（k）；
求：
1）
2）
3）
零输入响应yzi（k）、零状态响应yzs（k）及全响应y（k）；指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；判断该系统的稳定性。
代入初始条件得0=_2，C2=2
零输入响应：
yzi（k）=（2-20.5k）;（k）
z
2z2-3z1z-1
Yzs（z）=H（z）E（z）=零状态响应：
yzs（k）=（0.5k+k-1）；（k）
0.5丄
yzs（0）=0，yzs
（1）=（ey）；
全响应：
y（k）=（1+k-0.5k）；（k）
k
2）自由响应：
（1-0.5）k（k），严格地说是混合响应。
3）系统的特征根为.1=0.5（单位圆内）
、2=1（单位圆上），所2系统临界稳定。
fnk\h（k）=cos]——；五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应.2
；（k）
。
4）
5）
6）解:
求其系统函数H（z）；
粗略绘出该系统的幅频特性;
画出该系统的框图。
1）系统函数为：
Z{cos（3k）g（k）j=ZT
尹*e^（k）
2（k）
-jk
2；（k）
j-:
-e2
z2
H（z）-
z+1
六、（10分）请叙述并证明Z变换的卷积定理。
解：
卷积定理
设z{fi（k）}=Fi（z）,z{f2（k）}=F2（z），则zfi（k）*f2（k）』Fi（z）F2（z）
或用符号表示为：
若figFi（z），f2（k），F2（Z），则
fi（k）*f2（k），Fi（z）F2（z）
两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。
以上定理可根据卷积和
及Z变换的定义证明如下
■bo1-bo-bo
z{f'k）*f2（k）}=Z」I；fi（j）f2（k—j）卜=送z七fi（j）f2（k—j）
j丿k^^ij=jaO
交换上式右方的取和次序，上式成为
■bo-bo
Zfi（k）*f2（k）匚'fi（jpz“f2（k—j）
j二；k：
对上式右方第二个取和式应用式（8—15）的移序特性，则得
-bo
Zfi（k）*f2（k）?
='fi（j）z—jF2（z）二Fi（z）F2（z）
j=-°0
点评：
很多学生做不出此题，有的竟然连卷积定理内容都写不出
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