高考一轮人教版A数学文科 第5章 第2节 等差数列及其前n项和Word下载.docx

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1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（　　）

（2）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　　）

（3）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．（　　）

（4）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）√　（3）√　（4）×

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于（　　）

A．－1　　　　B．1

C．2D．－2

D　[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D.]

3．（2015·

全国卷Ⅱ）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝（　　）

A．5B．7

C．9D．11

A　[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝

＝5a3＝5.]

4．（2016·

全国卷Ⅰ）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）

A．100B．99

C．98D．97

C　[法一：

∵{an}是等差数列，设其公差为d，

∴S9＝

（a1＋a9）＝9a5＝27，∴a5＝3.

又∵a10＝8，∴

∴

∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×

1＝98.故选C.

法二：

∵{an}是等差数列，

在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.

故a100＝a5＋（20－1）×

5＝98.故选C.]

5．（教材改编）在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数．

16　[由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，

则a1＝6，d＝6，得an＝6＋（n－1）6＝6n.

由an＝6n≤100，即n≤16

＝16

，

则在100以内有16个能被6整除的数．]

等差数列的基本运算

（1）（2015·

全国卷Ⅰ）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（　　）

A.

　　　　　　B.

C．10D．12

（2）（2017·

云南省二次统一检测）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝（　　）

A．9B．10

C．11D．15

（1）B　

（2）B　[

（1）∵公差为1，

∴S8＝8a1＋

×

1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.

∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4（4a1＋6），解得a1＝

∴a10＝a1＋9d＝

＋9＝

（2）设等差数列{an}的公差为d，依题意

解得

∴am＝a1＋（m－1）d＝7m－40＝30，∴m＝10.]

[规律方法]　1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．

2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．

[变式训练1]　

（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足

－

＝1，则数列{an}的公差是（　　）

B．1

C．2D．3

（2）设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.

【导学号：

31222176】

（1）C　

（2）－72　[

（1）∵Sn＝

，∴

，又

＝1，

得

＝1，即a3－a2＝2，

∴数列{an}的公差为2.

（2）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由已知，得

∴S16＝16×

3＋

（－1）＝－72.]

等差数列的判定与证明

　已知数列{an}中，a1＝

，an＝2－

（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn＝

（n∈N*）．

（1）求证：

数列{bn}是等差数列．

（2）求数列{an}中的通项公式an.

[解]　

（1）证明：

因为an＝2－

（n≥2，n∈N*），

bn＝

所以n≥2时，bn－bn－1＝

＝1.5分

又b1＝

＝－

所以数列{bn}是以－

为首项，1为公差的等差数列.7分

（2）由

（1）知，bn＝n－

，9分

则an＝1＋

＝1＋

.12分

[规律方法]　1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．

2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．

[变式训练2]　

（1）若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是（　　）

31222177】

A．公差为3的等差数列

B．公差为4的等差数列

C．公差为6的等差数列

D．公差为9的等差数列

（2）在数列{an}中，若a1＝1，a2＝

＋

（n∈N*），则该数列的通项为（　　）

A．an＝

B．an＝

C．an＝

D．an＝

A　[由已知式

可得

，知

是首项为

＝1，公差为

＝2－1＝1的等差数列，所以

＝n，即an＝

.]

（1）C　

（2）480　[

（1）∵a2n－1＋2a2n－（a2n－3＋2a2n－2）

＝（a2n－1－a2n－3）＋2（a2n－a2n－2）

＝2＋2×

2＝6，

∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．

（2）由已知Sn

－Sn－1

＝2

可得，

＝2，所以{

}是以1为首项，2为公差的等差数列，故

＝2n－1，Sn＝（2n－1）2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.]

等差数列的性质与最值

（1）（2017·

东北三省四市一联）如图521所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a52＝（　　）

图521

A．2　　B．8

C．7D．4

（2）等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>

0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn取得最大值．

（1）C　[法一：

第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a41＋a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×

3a52＝63，所以a52＝7，故选C.

由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷

9＝7，即a52＝7，故选C.]

（2）法一：

由S3＝S11，可得3a1＋

d＝11a1＋

d，4分

即d＝－

a1.7分

从而Sn＝

n2＋

n＝－

（n－7）2＋

a1，

因为a1>

0，所以－

<

0.9分

故当n＝7时，Sn最大.12分

由法一可知，d＝－

a1.

要使Sn最大，则有

5分

即

9分

解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大.12分

法三：

由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，

即（a1＋6d）＋（a1＋7d）＝0，5分

故a7＋a8＝0，又由a1>

0，S3＝S11可知d<

0，9分

所以a7>

0，a8<

0，所以当n＝7时，Sn最大.12分

[规律方法]　1.等差数列的性质

（1）项的性质：

在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔

＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．

（2）和的性质：

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；

②S2n－1＝（2n－1）an.

2．求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

（1）函数法：

利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

（2）邻项变号法：

①当a1>

0，d<

0时，满足

的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1<

0，d>

的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

[变式训练3]　

（1）在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝（　　）

A．18B．99

C．198D．297

（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S15＝（　　）

A．60B．70

C．90D．40

A　[因为数列{an}为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列，设S15＝x，则10,20，x－30成等差数列，所以2×

20＝10＋（x－30），所以x＝60，即S15＝60.]

（1）B　

（2）20　[

（1）因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝

（a1＋a11）＝11a6＝99.

设数列{an}的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.

由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.

所以5＋2D＝10，

所以D＝

所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.]

[思想与方法]

1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a1和d.

（1）若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d