数列提高练习题Word格式文档下载.docx
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项和为f（n）-c,数列（bn）（b„>
0）的首项为c,且前〃项和S”满足S”一S”■产阿4■屈7（心2）・
（D求数列心｝和傀｝的通项公式；
⑵若数列｛>
｝前"
项和为人，问人>
黑的最小正整数"
是多少?
bQz2009
6・已知数列｛“”｝中，=|,点5,2如-4）在直线>
Jz,其中
”=1,2,3・・・.
（1）令—,求证数列仇｝是等比数列；
（2）求数列
仏酌通项；
⑶设S”,7；
分别为数列仇｝、仏｝的前〃项和，是否存在实数心使得数
列士J为等差数列？
若存在，试求出几.若不存在,则说明”J
理由。
7.已知数列｛“”｝的前〃项和为s”，设心是S”与2的等差中项，数列心｝
中，勺=1,
点P（b”,b,“）在直线y=x+2上。
（1）求数列｛"
”｝、｛〃“｝的通项公
式；
（2）若数列他｝的前“项和为B”，比较缶+召+…+鳥=与
1的大小；
（3）令人=久+冬+…+如，是否存在正整数M,使得Tn<
M对一切
5a25
正整数〃都成立？
谓说明理由。
8・已知正数数列他｝中.⑷=1,且关于x的方程
x~++—（«
„_|+2"
“）=0
（“胡,心2）有两个相等的实根。
（1）求证：
数列閉是等差数列;
（文科）
（2）求数列他｝的通项公式；
（3）设数列匕｝前“项之和S”，求证:
聽>
2—3。
9・已知数列仏｝的前〃项和为S”,且对一切正整数〃都有S,r=,?
+卜”。
（1）证明：
心+1+an=4"
+2;
（2）求数列仏｝的通项公式；
（3）设f（〃）=1一丄1一丄•・1一丄y/2fl+1,
I5人al）aJ
求证:
f（n+1）<
fW对一切neN•都成立。
10・设｛%｝是公差不为零的等差数列，S”为其前"
项和，满足
o22c^7
a；
+a；
=a；
+a^S?
=7
（D求数列匕｝的通项公式及前项和》；
（2）试求所有的正整数〃?
，使得込为数列｛©
｝中的项.
5+2
剑.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业，打算本年度投入800万元，以后每年投入将比上年平均减少20%,本年度旅游收入为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25%.
（1）设第〃年（本年度为第一年）的投入为绻万元，旅游业收入为仇
万元，写出仇的表达式;
（2）至少经过几年旅游业的总收入超过总投入?
12・某地正处于地震带上，预计20年后该地将发生地震.当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除已知旧城区的住房总面积为64“每年拆除的数量相同；
新城区计划第一年建设住房面积
"
屛，开始几年每年以100%的增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年増加•设第"
（心1,且皿N）年新城区的住房总面积为心肿，该地的住房总面积为饥m2•
（1）求勺；
（2）若每年拆除"
肿,比较⑺与化的大小.
数列提高练习题答案
1-解
（1）当九=1,勺=S]=k+1,
n>
2,an=S”=kn2+n-[k（n-1）2+（n-1）]=2kn-k+1（*）
经验，“=1,（*）式成立，=2kn-k+\
⑵...g,如5成等比数列，•"
-Cl2m=>
即（4R加一R+l）'
=（2km-k+k+V）,
整理得:
mk（k-\）=09对任意的〃疋N*成立，
・・・k=0或k=l
2•解:
（1）证bj=a2-aA=1,
当幵X2时,bn=all+l-an=~--a„=--（a„-«
„_!
）=--b—
所以他｝是以1为首项，为公比的等比数列。
⑵由（D知咕畑-5=（-*）"
二
当心2时，q=q+（a2_q）+（a3_a?
）+・••+（5_%）
当心时，所以勺=|-|（-扩&
川）。
3.解：
（1）当§
=1时，S3=12,S2=8,S4=16,不成等差数列。
当少时2"
心-/）=4（1-小+如（1-小,
\_ql-g'
■■2（厂=q+q,■■q"
+q_2=0,••q=_2
・・・“”=4（-2）"
“=（-2严（6分）
（2）叽=log,\alt\=log2|（-2）,,+1\=n+\
]=]=_J1
hnbn^（«
+!
）（/?
+2）n+1n+2
丁11111111n
23347?
+1n+22n+22（n+2）
AW"
/."
W/lS+2）•••2M"
?
2（/7+2）2（“+2）2
又U
2（n+2）2
=1••/的最小值为]
2（〃+笃4）2（4+4）1616
n
4.解：
（D由题意知，°
”“*）・・・
・・・bn=31og[afl-2,勺=31og,ax-2=1
・•・b廿厂九=31ogia卄i-31og,an=3log[二=31og丨q=3
444Cln4
・•・数列他｝是首项坊=1.公差八3的等差数列・・・
（2）由⑴知'
心卉—⑺十）
••・5=⑶?
-2）x（-i-）\（ne^*）
s”=1X£
+4X（扌）2+7X（”‘+…+⑶7-5）x（+）T+⑶7_2）x（扌）"
于是：
=lx（l）2+4x（l）3+7x（l）4-F--+（37?
-5）x（lr+（3n-2）x44444
两式相减得
沁=；
+3[
（1）2+（I）3+…+（；
）"
]-⑶2-2）x（l）n+,斗®
+2）X（i）w+,.
44444424
G212/2+8z1xnrl/
・•・S〃=§
—x（-）/，+，（nwN*）
（3）•••c,t+1-c”=⑶7+1）•（：
严—⑶7-2）•（；
）”=9（1-h）•dyi+,,aeNT
444
当n=1时|c2=C|=—
•••当时，5取最大值是f
又nr+m-1—切正整数n恒成立
即nr+4m-5>
0得〃2>
1或加S—5■■■
当nn2时,Emv%即q=c2<
c3<
c4<
-<
cn
1,J
—nr+m-\>
—
44
5.解⑴•■•/（l）=a=*,
12
q=y（l）_c=§
_c,a2=[/
（2）-c]-[/（l）-c]=--»
©
=[/⑶-c]-[_/
（2）一小一专•
_4
又数列何成等比数列，===,所以C=l；
-、—,
27
又公比q吕气.所以^=-|flY_，=-2flYZ；
•••S”-S“_严（区-际）（妊+尺）=松+尺（心2）
又乞>
0,”0,—応=1;
数列｛施｝构成一个首相为1公差为1的等差数列，花>
l+（“-l）xl=〃，
当心2,bn=Slt-S—=n~=2n-\;
/.bn=2〃一1（nwN）;
（2）7>
丄+丄+丄+...+丄=丄+丄+丄+...+1
b}b2b2b3b3b4仇化+】1x33x55x7（2〃-l）x（2〃+l）
_3,_313
424
又仇=%】一5一1，勺屮=山+2一％1一1
^+（7?
）an+n如-~-1
5一1=22=2=1
hn%2一％1一1%_5_1勺科一勺一12
•••｛如是以-斗为首项，以穆为公比的等比数列.
42
（2）由⑴知，仇=一》
=-|x^-,
I31|31
••・色4_5_1=_三*冷，・・・“2_4_1=_牙＞＜牙，
.31
心22心
将以上各式相加得:
存在2=2,使数列｛组込｝是等差数列.
•/Sfj=q+a+•・・+=3（—+—+•…—）+（1+2+・・・+/?
）—2/?
222
匕1_丄、
2•Tn（n+1）1矿_3”3zr-3/7
=3x+—-2/?
=3
（1）+=++3・
J2T2T2
2
7（13133
Tn=b、+b,+•••+»
=一=__（1——）=__+—.
1-”]_丄2T22n+1
~2
数列｛匕匀是等差数列的充要条件是益也=加+、3是常数）
nn
即Sn+ATn=An1+Bn.
T7G计3H2-3nQ”33、n2-3/?
1、
又工+必一戶+=+3+兄二+戶2=+3（匕）（】-歹）
••当且仅当1-亠0,即"
2时，数列｛5±
如｝为等差数列.
2n
解法■存在2=2,使数列｛»
^｝是等差数列.
由（I）、（II）知.a„+2bn=n-2S„+2T=-2n
S„+AT„_!
^1-2n-2Tn+ATn_n-32-2
==+—Tn
n2n
——（1——）21Q
又人=b\+6+•••+$=———=--
（1）=--+-^
r1-”―丄22”22n+,
S”+几人=打_3]兄_2（3计3nF~iT2戶
••当且仅当兄=2时，数列｛仝匹｝是等差数列
7.解：
（1）依题设，2an=+2,贝lj2q=\+2=q+2,/.aJ=2
当n22时，an=SfJ-S—[=（2an_2）_（2q—_2）=2a一2an^
即©
=2%,数列｛心｝是公比为2,首项为2的等比数列,
因为点P（W”+J在直线y=x+2上，故乞+1=乞+2,即仇+|—仇=2
故数列他｝是公差为2,首项为1的等差数列，则b,_=2—l
（2）由
（1）有厲=勺+比+…+仇9贝97瓦=门故
]_]_1__1
J3Q田n（n+\）nn+\
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