高中数学第二章平面向量234平面向量共线的坐标表示导学案新人教A版必修Word下载.docx
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例1
（1）下列各组向量中，共线的是（ ）
A.a＝（－2，3），b＝（4，6）
B.a＝（2，3），b＝（3，2）
C.a＝（1，－2），b＝（7，14）
D.a＝（－3，2），b＝（6，－4）
答案 D
解析 A选项，（－2）×
6－3×
4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×
2－3×
3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×
14－（－2）×
7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，（－3）×
（－4）－2×
6＝12－12＝0，
∴a∥b，故选D.
（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3）.判断
与
是否共线？
如果共线，它们的方向相同还是相反？
解
＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），
＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）.
方法一 ∵（－2）×
（－6）－3×
4＝0且（－2）×
4<
0，
∴
共线且方向相反.
方法二 ∵
＝－2
，∴
反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练1 已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），
＝
，
，求证：
∥
.
证明 设E（x1，y1），F（x2，y2）.
∵
＝（2，2），
＝（－2，3），
＝（4，－1），
＝（
），
＝（－
，1）.
∴（x1，y1）－（－1，0）＝（
（x2，y2）－（3，－1）＝（－
，1），
∴（x1，y1）＝（－
），（x2，y2）＝（
，0）.
＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（
，－
）.
∵4×
（－
）－（－1）×
＝0，∴
类型二 利用向量共线求参数
例2 已知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
解 方法一 ka＋b＝k（1，2）＋（－3，2）＝（k－3，2k＋2），
a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4），
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ（a－3b）.
由（k－3，2k＋2）＝λ（10，－4）.
得
解得k＝λ＝－
方法二 由方法一知ka＋b＝（k－3，2k＋2），
a－3b＝（10，－4），
∵ka＋b与a－3b平行，
∴（k－3）×
（－4）－10（2k＋2）＝0，解得k＝－
引申探究
1.若例2条件不变，判断当ka＋b与a－3b平行时，它们是同向还是反向？
解 由例2知当k＝－
时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－
a＋b＝－
（a－3b），
∵λ＝－
<
∴ka＋b与a－3b反向.
2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，a＋kb与3a－b平行？
”，又如何求k的值？
解 a＋kb＝（1，2）＋k（－3，2）＝（1－3k，2＋2k），
3a－b＝3（1，2）－（－3，2）＝（6，4），
∵a＋kb与3a－b平行，
∴（1－3k）×
4－（2＋2k）×
6＝0，
解得k＝－
反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理a＝λb（b≠0），列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解.
跟踪训练2 设向量a＝（1，2），b＝（2，3），若向量λa＋b与向量c＝（－4，－7）共线，则λ＝________.
答案 2
解析 λa＋b＝λ（1，2）＋（2，3）＝（λ＋2，2λ＋3），
∵λa＋b与c共线，
∴（λ＋2）×
（－7）－（2λ＋3）×
（－4）＝λ－2＝0，
∴λ＝2.
类型三 三点共线问题
例3 已知向量
＝（k，12），
＝（4，5），
＝（10，k）.当k为何值时，A，B，C三点共线？
－
＝（4－k，－7），
＝（10－k，k－12），
若A，B，C三点共线，则
∴（4－k）（k－12）＝－7×
（10－k），
解得k＝－2或11，
又
有公共点A，
∴当k＝－2或11时，A，B，C三点共线.
反思与感悟
（1）三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：
①证明向量平行；
②证明两个向量有公共点.
（2）若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.
跟踪训练3 已知A（1，－3），B
，C（9，1），求证：
A，B，C三点共线.
证明
＝（9－1，1＋3）＝（8，4），
∵7×
4－
×
8＝0，
，且AB，
∴A，B，C三点共线.
1.已知a＝（－1，2），b＝（2，y），若a∥b，则y的值是（ ）
A.1B.－1C.4D.－4
解析 ∵a∥b，∴（－1）×
y－2×
2＝0，∴y＝－4.
2.与a＝（12，5）平行的单位向量为（ ）
A.
B.
C.
或
D.
答案 C
解析 设与a平行的单位向量为e＝（x，y），
则
3.已知三点A（1，2），B（2，4），C（3，m）共线，则m的值为________.
答案 6
解析
＝（2，4）－（1，2）＝（1，2）.
＝（3，m）－（1，2）＝（2，m－2）.
∵A，B，C三点共线，即向量
共线，
∴存在实数λ使得
＝λ
即（1，2）＝λ（2，m－2）＝（2λ，λm－2λ）.
⇒
即m＝6时，A，B，C三点共线.
4.已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是（3，－1），（1，2），（－1，1），（3，－5）.求证：
四边形ABCD是梯形.
证明 ∵A（3，－1），B（1，2），C（－1，1），D（3，－5）.
＝（4，－6）.
，即|
|＝
|
|，
∴AB∥CD，且AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形.
5.已知A（3，5），B（6，9），M是直线AB上一点，且|
|＝3|
|，求点M的坐标.
解 设点M的坐标为（x，y）.由|
|，得
＝3
＝－3
由题意，得
＝（x－3，y－5），
＝（6－x，9－y）.
当
时，（x－3，y－5）＝3（6－x，9－y），
解得
时，（x－3，y－5）＝－3（6－x，9－y），
故点M的坐标是
1.两个向量共线条件的表示方法
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
（1）当b≠0，a＝λb.
（2）x1y2－x2y1＝0.
（3）当x2y2≠0时，
，即两向量的相应坐标成比例.
2.向量共线的坐标表示的应用
（1）已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行.
（2）已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程.要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
课时作业
一、选择题
1.设k∈R，下列向量中，与向量a＝（1，－1）一定不平行的向量是（ ）
A.b＝（k，k）B.c＝（－k，－k）
C.d＝（k2＋1，k2＋1）D.e＝（k2－1，k2－1）
解析 由向量共线的判定条件知，当k＝0时，向量b，c与a平行；
当k＝±
1时，向量e与a平行.对任意k∈R，1·
（k2＋1）＋1·
（k2＋1）≠0，∴a与d不平行，故选C.
2.已知向量a＝（1，－2），|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是（ ）
A.（4，8）B.（8，4）
C.（－4，－8）D.（－4，8）
3.已知三点A（－1，1），B（0，2），C（2，0），若
和
是相反向量，则D点坐标是（ ）
A.（1，0）B.（－1，0）
C.（1，－1）D.（－1，1）
4.已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若（ma＋nb）∥（a－2b），则
等于（ ）
A.－2B.2C.－
D.
解析 由题意得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），
a－2b＝（4，－1），∵（ma＋nb）∥（a－2b），
∴－（2m－n）－4（3m＋2n）＝0，∴
＝－
，故选C.
5.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）
B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）
C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）
D.e1＝（2，－3），e2＝（
）
答案 B
解析 A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；
B选项，∵－1×
7－2×
5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；
C选项，3×
10－5×
6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；
D选项，2×
）－（－3）×
＝0，∴e1∥e2，不可以作为基底.
故选B.
6.已知e1＝（1，0），e2＝（0，1），a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，当a∥b时，实数λ等于（ ）
A.－1B.0C.－
D.－2
解析 ∵e1＝（1，0），e2＝（0，1），a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，
∴a＝2（1，0）＋（0，1）＝（2，1），b＝λ（1，0）－（0，1）＝（λ，－1）.
又∵a∥b，∴2×
（－1）－1×
λ＝0，解得λ＝－2.故选D.
7.已知向量a＝（x，3），b＝（－3，x），则下列叙述中，正确的个数为（ ）
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使（a＋b）∥a；
③存在实数x，m，使（ma＋b）∥a；
④存在实数x，m，使（ma＋b）∥b.
A.0B.1C.2D.3
解析 只有④正确，可令m＝0，
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