届高考理科数学课时拓展检测试题62Word格式文档下载.docx
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·
＝（ ）
A．0B．1C．－1D.
－
＝（
）·
（
）＝
2－
2＝0.故选A.
4．（
）设x，y∈R，向量a＝（x，1），b＝（1，y），c＝（2，－4），且a⊥c，b∥c，则
A.
B.
C．2
D．10
∵a⊥c，b∥c，∴2x－4＝0，2y＋4＝0，则x＝2，y＝－2.∴a＝（2，1），b＝（1，－2），a＋b＝（3，－1）．∴
.故选B.
5．（
）设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则a⊥b
B．若a⊥b，则
C．若
，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则
对
两边平方得a·
b＝－
，故选项A、B错，C正确；
至于选项D，当a，b为方向相同的向量时，显然
不成立．故选C.
6．已知O为原点，点A，B的坐标分别为（a，0），（0，a），a是正的常数，点P在线段AB上，则
的最大值是（ ）
A．aB．2aC．a2D．3a
＝|
||
|cos∠POA＝a|
|cos∠POA.
据图可知，当P与A重合时，取得最大值，即
≤a2（亦可设出P点坐标求解）．故选C.
7．已知向量a，b是平面α内的一组基底，向量c＝a＋2b，对于平面α内异于a，b的不共线的向量m，n有下列命题：
①当m，n分别与a，b对应共线时，满足c＝m＋2n的向量m，n有无数组；
②当m，n与a，b均不共线时，满足c＝m＋2n的向量m，n有无数组；
③当m与a共线，但向量n与b不共线时，满足c＝m＋2n的向量m，n有无数组．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
如图，将c沿
和
方向分解时，只有一种分解方式，故①错误；
当m，n与a，b均不共线时，m，n的变化会引起分解的变化，故②正确；
同理，③正确．故选C.
8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若
＝－4，则点A的坐标为（ ）
A．（2，±
2
）B．（1，±
2）
C．（1，2）D．（2，2
）
解法一：
设点A坐标为（x，y），F（1，0），则
＝（x，y）·
（1－x，－y）＝x－x2－y2＝x－x2－4x＝－x2－3x＝－4，解之得x＝1或x＝－4（舍去）．代入抛物线可得点A的坐标为（1，±
2）．
解法二：
由题意设A
，F（1，0），则
＝－4，即
－y
＝－4，y
＋12y
－64＝0，求得y0＝±
2，所以点A的坐标为（1，±
2），故选B.
9．（
）若向量a，b，c两两所成角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于（ ）
A．2B．5
C．2或5D.
或
若a，b，c两两所成角相等，则所成角为0°
或120°
，当它们两两所成角为0°
时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋1＋3＝5；
当它们两两所成角是120°
时，则a·
b＝1×
1×
cos120°
＝－
，同理a·
c＝－
，b·
，
∴|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·
b＋2a·
c＋2b·
c
＝1＋1＋9－1－3－3＝4.
∴|a＋b＋c|＝2.故选C.
10．（
）如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°
，点M在AB边上，且AM＝
AB，则
等于（ ）
A．－1B．1C．－
D.
，∴
2＋
2＝1，故选B.
11．已知a＝（－1，
），
＝a－b，
＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积为（ ）
A.
B．2C．2
D．4
由三角形AOB为等腰直角三角形可得：
＝2且a⊥b，故S△AOB＝
－2a·
b）＝4.故选D.
12．（
）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝
AB，且对于边AB上任一点P，恒有
≥
，则（ ）
A．∠ABC＝90°
B．∠BAC＝90°
C．AB＝ACD．AC＝BC
设AB＝4，以AB所在直线为x轴，
的方向为x轴正方向，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则A（－2，0），B（2，0），则P0（1，0），设C（a，b），P（x，0），x∈[－2，2]．∴
＝（2－x，0），
＝（a－x，b），
＝（1，0），
＝（a－1，b），则由
得（2－x）·
（a－x）≥a－1在x∈[－2，2]上恒成立．令f（x）＝x2－（2＋a）x＋a＋1，则f（x）≥0在x∈[－2，2]上恒成立．而Δ＝（2＋a）2－4（a＋1）＝a2，则有
Δ≤0或
解得a＝0或a∈∅或a∈∅.
综上知a＝0.即点C在线段AB的中垂线上，∴AC＝BC.故选D.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．（
）已知向量a，b夹角为45°
，且
＝1，
＝____________．
⇔（2a－b）2＝10⇔
4＋
－4
cos45°
＝10⇔
＝3
.故填3
.
14．已知F＝（2，3）作用一物体，使物体从A（2，0）移动到B（4，0），则力F对物体作的功为________．
设F与
的夹角为θ，则力F对物体所作的功为
cosθ
＝F·
＝4.故填4.
15．（
）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，
＝1，则BC＝____________．
如图知
cos（π－B）＝2×
×
（－cosB）＝1.∴cosB＝－
.又由余弦定理知cosB＝
，解得BC＝
.故填
16．（
）已知向量
与
的夹角为120°
＝3，
＝2.若
＝λ
⊥
，则实数λ的值为____________．
∵
，则（λ
）＝λ
－λ
＝－12λ＋7＝0，∴λ＝
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（
）已知向量a，b不共线：
（1）若
＝a＋b,
＝2a＋8b,
＝3（a－b），求证：
A，B，D三点共线；
（2）求实数k，使ka＋b与2a＋kb共线．
（1）证明：
＝5a＋5b＝5（a＋b）＝5
为共线向量，且二者有公共点B，所以A，B，D三点共线．
（2）要使ka＋b与2a＋kb共线，则ka＋b＝λ（2a＋kb），
所以
∴k＝±
18．（12分）设a＝（x2＋6x，5x），b＝
，x∈[0，9]．
（1）求f（x）＝a·
b的表达式；
（2）求f（x）的单调区间．
（1）∵a·
b＝（x2＋6x，5x）·
x3－3x2＋5x.∴f（x）＝
x3－3x2＋5x，x∈[0，9]．
（2）f′（x）＝x2－6x＋5，令f′（x）＝0，得x＝1或x＝5，
∴x∈[0，1）或x∈（5，9]时，f′（x）＞0.
∴f（x）在[0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减，在（5，9]上单调递增．
19．（12分）（
）已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π.
（1）若|a－b|＝
，求证：
a⊥b；
（2）设c＝（0，1），若a＋b＝c，求α，β的值．
由题意得|a－b|2＝2，即（a－b）2＝a2－2a·
b＋b2＝2，又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1.所以2－2a·
b＝2，即a·
b＝0，故a⊥b.
（2）因为a＋b＝（cosα＋cosβ，sinα＋sinβ）＝（0，1），
即
两边分别平方再相加得1＝2－2sinβ，∴sinβ＝
，sinα＝
，又∵0＜β＜α＜π，∴α＝
，β＝
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在常数k，使得向量
共线？
如果存在，求k的值；
如果不存在，请说明理由．
（1）圆的方程可写成（x－6）2＋y2＝4，
∴圆心Q（6，0），过点P（0，2），且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2.代入圆方程得（1＋k2）x2＋4（k－3）x＋36＝0.①
∵直线与圆交于两个不同的点A，B，
∴Δ＝[4（k－3）]2－4×
36（1＋k2）＝42（－8k2－6k）>
0，
解得－
<
k<
0，即k的取值范围是
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
＝（x1＋x2，y1＋y2），
由方程①，得x1＋x2＝－
，②
又y1＋y2＝k（x1＋x2）＋4，③
而P（0，2），Q（6，0），
＝（6，－2）．
∴
共线⇔x1＋x2＝－3（y1＋y2），
将②③代入上式，解得k＝－
由
（1）知，k∈
故不存在符合题意的常数k.
21．（12分）设平面内的向量
＝（－1，－3），
＝（5，3），
＝（2，2），点P在直线OM上，且
＝－16.
（1）求
的坐标；
（2）求∠APB的余弦值；
（3）设t∈R，求|
＋t
|的最小值．
（1）设
＝（x，y）．由点P在直线OM上，可知
共线．
而
＝（2，2），所以2x－2y＝0，即x＝y，有
＝（x，x）．
由
＝（－1－x，－3－x），
＝（5－x，3－x），
＝（－1－x）（5－x）＋（－3－x）（3－x），
＝2x2－4x－14.
又
＝－16，所以2x2－4x－14＝－16.
可得x＝1.所以
＝（1，1）．
（2）由
＝（－2，－4），
＝（4，2），可得|
|＝2
，|
.又
所以cos∠APB＝
（3）
＝（－1＋t，－3＋t），|
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