椭圆知识点总结附练习题Word文档格式.docx

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。

3.顶点：

　　①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

　　②椭圆

与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

③线段

分别叫做椭圆的长轴和短轴，

分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4.离心率：

　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用

表示，记作

　　②因为

，所以

的取值范围是

越接近1，则

就越接近

，从而

越小，因此椭圆越扁；

反之，

越接近于0，

就越接近0，从而

越接近于

，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当

时，

，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为

　注意：

　　椭圆

的图像中线段的几何特征（如下图）：

（1）

（2）

　　（3）

5,通径：

（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为

.

6,设

为椭圆的两个焦点，

为椭圆上一点，当

三点不在同一直线上时，

构成了一个三角形——焦点三角形.

两种椭圆标准方程的区别和联系：

椭圆

与

的区别和联系

标准方程

图形

性质

焦点

焦距

范围

对称性

关于

轴和原点对称

顶点

轴长

长轴长=

，短轴长=

离心率

准线方程

焦半径

注意：

的相同点：

形状、大小都相同；

参数间的关系都有

不同点：

两种椭圆的位置不同；

它们的焦点坐标也不相同。

规律方法：

1，求椭圆方程的常用方法

（1）待定系数法：

由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数

的值。

其主要步骤是“先定型，再定量”；

（2）定义法：

由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

2，共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c相同。

与椭圆

共焦点的椭圆方程可设为

，此类问题常用待定系数法求解。

3，方程

是表示椭圆的条件

　　方程

可化为

，即

，所以只有

同号，且

时，方程表示椭圆。

　　当

时，椭圆的焦点在

轴上；

轴上。

4，焦点三角形

（

为椭圆上的点）有关的计算问题

令

;

常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式

相结合的方法进行计算解题。

（此处信息量较大）

将有关线段

，有关角

（

）结合起来，建立

之间的关系.

的最大值为

5，椭圆的扁圆程度与离心率的关系

，因为

显然：

当

越小时，

越大，椭圆形状越扁；

越大，

越小，椭圆形状越趋近于圆。

6，点与椭圆的位置关系：

（1）点

在椭圆外

（2）点

在椭圆上

＝1；

（3）点

在椭圆内

7，直线与椭圆的位置关系：

若直线

与圆锥曲线

相交于两点

，将直线方程联立曲线方程可得：

（1）相交：

直线与椭圆相交；

（2）相切：

直线与椭圆相切；

（3）相离：

直线与椭圆相离；

8，椭圆的切线方程

（1）椭圆

上一点

处的切线方程是

（2）过椭圆

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

9，弦长公式：

，则

＝

若弦

所在直线方程设为

要注意两种直线方程的应用时的优缺点

（详细介绍韦达定理在圆锥曲线中的应用）

10，中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解

抓住两点：

中点坐标，弦所在直线斜率

设交点坐标为

，线段

的中点为

，则由

，

将两式相减

（1）斜率问题：

（2）弦中点轨迹问题时：

（3）要注意：

（4）直线

的方程:

（5）线段

的垂直平分线方程：

椭圆的几何性质练习

一，椭圆的几何性质的简单运用

1，已知椭圆

的离心率

，求

的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标。

2，求与椭圆

有相同的焦距，且离心率为

的椭圆的标准方程。

3，在平面直角坐标系

中，椭圆

的中心为原点，焦点

在

轴上，离心率为

过

的直线

交

于

两点，且

的周长为16，求

的方程。

二，求椭圆的离心率

1，已知椭圆的中心在原点，焦点

轴上，

是椭圆的上顶点，

是椭圆的右顶点，

是椭圆上的一点，且

轴，

求此椭圆的离心率。

2，已知椭圆

的左焦点

是椭圆的两个顶点，若

到直线

的距离为

，求椭圆的离心率。

3，已知

是椭圆

的一个焦点，

是短轴的一个端点，线段

的延长线交

点，且

的离心率。

4，设椭圆上存在一点

，它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围。

三，直线与椭圆的位置关系

1，椭圆

的离心率为

，且椭圆与直线

相交于

，且

，求椭圆的方程。

2，直线

过点

两点，若

为

中点，试求直线

3，已知椭圆

的标准方程为

，试确定

的取值范围，使得对于直线

，椭圆

上有不同两点关于直线

对称。

四，椭圆中的最值问题

，直线

，椭圆上是否存在一点，它到直线

的距离最小？

最小距离是多少？

2，点

分别是椭圆

长轴的左右端点，点

是椭圆的右焦点，点

在椭圆上，且位于

轴上方，

（1）求点

的坐标；

（2）设

是椭圆长轴

上的一点，

的距离等于

，求椭圆上点到点

的距离

的最小值。

五，椭圆两种定义的应用

1，在直线

上任取一点

，过

且以椭圆

的焦点为焦点作椭圆，问

在何处时，所作椭圆长轴最短，并求此椭圆方程。

内有一点

是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点

，使

最小。

六，综合问题

1，过点

作直线

交椭圆

两点，当

得面积最大时，求直线

2，已知椭圆的中心为坐标原点

，焦点在

轴上，斜率为1且过椭圆右焦点

的直线交椭圆于

两点，

与

共线。

（1）求椭圆的离心率；

为椭圆上任意一点，且

求证：

为定值。

3，椭圆

的两个焦点为

为是椭圆上一点，满足

（1）求离心率

的取值范围；

（2）当离心率

取得最小值时，点

到椭圆上的点的最远距离为

，求此时椭圆的方程。

4，已知椭圆

，过点

作圆

的切线

两点。

（1）求椭圆

的焦点坐标和离心率；

（2）将

表示为

的函数，并求

的最大值。

5，设椭圆

的左右焦点分别为

，点

满足

（1）求椭圆的离心率

（2）设直线

与椭圆相交于

两点，若直线

与圆

6，在平面直角坐标系

的左顶点为

，下顶点为

，过坐标原点的直线交椭圆于

两点，其中

在第一象限，过

作

轴的垂线，垂足为

，连接

，并延长交椭圆于点

，设直线

的斜率为

（1）若直线

平分线段

的值；

（2）当

时，求点

的距离；

（3）对任意的

，求证：

7，设

的左右焦点，过

斜率为1的直线

成等差数列。

（2）设点

作业

1，某椭圆中心在原点，焦点在

轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________。

2，椭圆

的关系是________。

3，椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为________。

4，若椭圆的两焦点坐标为

在椭圆上，且

的最大面积是12，则椭圆的标准方程为________。

5，两个正数1,9的等差中项是

，等比中项是

且

，则曲线

的离心率为________。

6，已知

是椭圆的两个焦点，满足

的点

总在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________。

7，若直线

没有交点，则过点

的直线与椭圆

的交点个数为________。

8，已知椭圆的方程为

如果直线

与椭圆的一个交点

轴上的射影恰为椭圆的右焦点

，则椭圆的离心率为________。

9，椭圆

，则经过

并且以

为中点的弦所在的直线方程为________。

10，已知椭圆

的两个焦点分别为

，斜率为

过左焦点

且与椭圆的交点为

，与

轴交点为

，又

为线段

的中点，若

，求椭圆离心率

的取值范围。

11，设

短轴的一个端点，

为椭圆上的一个动点，求

12，已知椭圆

与过点

的直线有且仅有一个交点

，且离心率

（1）求椭圆的方程；

分别为椭圆的左右焦点，求证：

13，已知椭圆的中心在原点，焦点在

与椭圆交于

的斜率为1，且

，求椭圆的标准方程；

（2）若

（1）中椭圆的右顶点为

的倾斜角为

，问

为何值时，

取得最大值，并求出这个最大值。