83 空间点直线平面之间的位置关系文档格式.docx

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（1）位置关系分类：

（2）平行公理（公理4）和等角定理：

平行公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

（3）异面直线所成的角：

①定义：

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）；

②范围：

.

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

公共点

直线与平面

相交

a∩α＝A

1个

平行

a∥α

_0_个

在平面内

a⊂α

_无数_个

平面与平面

α∥β

α∩β＝l

无数个

1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（　　）

解析：

选D　A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．

2．下列说法正确的是（　　）

A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

选D　由异面直线的定义可知选D.

3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（　　）

A．b⊂α　　　　　　　　B．b∥α

C．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α

选D　b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．故选D.

4．若平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；

如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个．

答案：

1或4

三、精研高考题点，提升备考知能

平面的基本性质

[典例]　如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊

AD，BE綊

FA，G，H分别为FA，FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C，D，F，E四点是否共面？

为什么？

[解]　

（1）证明：

由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊

AD.又∵BC綊

AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．

（2）C，D，F，E四点共面，证明如下：

法一：

由BE綊

AF，G为FA的中点知BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，

∴EF∥BG.由

（1）知BG∥CH，∴EF∥CH.

∴EF与CH共面．

又D∈FH，

∴C，D，F，E四点共面．

法二：

如图所示，延长FE，DC分别与AB的延长线交于点M，M′，

∵BE綊

AF，

∴B为MA的中点．

∵BC綊

AD，

∴B为M′A的中点．

∴M与M′重合．

即EF与CD相交于点M（M′），∴C，D，F，E四点共面．

　[方法指导]

共面、共线、共点问题的证明

（1）证明点或线共面问题，一般有两种途径：

①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；

②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

（2）证明点共线问题，一般有两种途径：

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．

（3）证明线共点问题，常用的方法是：

先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．　

[变式训练]

如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

（1）E，C，D1，F四点共面；

（2）CE，D1F，DA三线共点．

证明：

（1）连接EF，CD1，A1B.

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥A1B.

又∵A1B∥D1C，

∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

（2）如图，∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，

∴CE，D1F，DA三线共点．

空间两直线的位置关系

[典例]　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为______．（注：

把你认为正确的结论的序号都填上）

[解析]　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．

[答案]　③④

[方法指导]

异面直线的判定的2种方法

（1）反证法：

先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

（2）定理法：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

[变式训练]

1．本例中正方体ABCDA1B1C1D1的棱所在直线中与直线AB是异面直线的有______条．

正方体共12条棱．

与AB平行的有3条：

DC，D1C1，A1B1；

与AB相交的有4条：

AD，AA1，BC，BB1；

与AB异面的有4条：

CC1，DD1，A1D1，B1C1.

4

2．在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）

图①中，直线GH∥MN；

图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．

②④

异面直线所成的角

[典例]　如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°

，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．

（1）求证AE与PB是异面直线；

（2）求异面直线AE与PB所成角的余弦值．

假设AE与PB共面，设平面为α，

∵A∈α，B∈α，E∈α，

∴平面α即为平面ABE，

∴P∈平面ABE，

这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．

（2）取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF（或其补角）就是异面直线AE与PB所成的角．

∵∠BAC＝60°

，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，

∴AF＝

，AE＝

，EF＝

，

cos∠AEF＝

＝

故异面直线AE与PB所成角的余弦值为

1．找异面直线所成角的三种方法

（1）利用图中已有的平行线平移．

（2）利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移．

（3）补形平移．

2．求异面直线所成角的三个步骤

（1）作：

通过作平行线，得到相交直线．

（2）证：

证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角．

（3）算：

通过解三角形，求出该角．　　

在正方体ABCDA1B1C1D1中，

（1）求AC与A1D所成角的大小；

（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解：

（1）如图所示，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，

易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．

∵AB1＝AC＝B1C，

∴∠B1CA＝60°

即A1D与AC所成的角为60°

（2）如图所示，连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

AC⊥BD，AC∥A1C1，

∵E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF∥BD，∴EF⊥AC.

∴EF⊥A1C1.

即A1C1与EF所成的角为90°

四、高考真题方向，比努力更重要

1．（2015·

安徽高考）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

选D　A项，α，β可能相交也可能平行，故错误；

B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；

C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；

D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．

2．（2013·

全国卷Ⅱ）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l

选D　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.

3．（2015·

广东高考）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交

选D　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

4．（2014·

广东高考）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（　　）

A．l1⊥l4B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定

选D　构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.

5．（2015·

浙江高考）如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，∴MK∥AN，

∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，

由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2

，∴MK＝

在Rt△CKN中，CK＝

在△CKM中，由余弦定理，得