泰勒展开公式的新认识特殊函数的倍乘公式与加法公式Word文档格式.docx
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有关特殊函数的倍乘公式与加法公式在文献λ随≡λ值的变化当
〔1〕．1z＞－12．k
中有系统的收录但仅限于合流超几何函数作时收敛区域为半平面随着值增
〔2〕〔3〕kz
为文献的继续本文按照文献中描述的方大收敛区域逐渐减小当时收缩为一点
→∞
0．kk
法由泰勒展开公式导出倍乘公式与加法公式并应反之随着值的减小收敛区域逐渐增大当
→
500．
用于超几何函数以及球函数柱函数得到大约时则扩大到全平面
个公式其中的绝大多数在现有的几本主要工具书
中都未能检得
1
倍乘公式的导出
如果在泰勒展开公式
∞
n
1dfzn
f－z－z＜R1
ζ∑nζζ
n0ndz
中取ζλz则得到泰勒展开公式的一种变型
nn
－1dfz
λn
fzz2
λ∑n
2
在一定意义上可以把式称为泰勒展开的倍乘
．〔2〕
公式文献给出的泰勒展开特殊形式相当于式
20．
的特殊情形λ
α
1zln1z
对于函数与不难写出它们的
n2
阶导数因此由式就得到
α∞n
1λz－αzz1
1z∑n1－λ1z1z＜1－λ
n0
31z1z＜11－．
图收敛区域λ随λ的变化
∞n
1λz1nzz1k≡1－λ≥1．虚线内为单位圆内区域z＜1
ln1z－∑n1－λ1z1z＜1－λ4
1234
图和图给出了级数的收敛区域2
下面给出式对于超几何函数及相关特殊函
2011－05－092011－09－06
收稿日期修回日期
1938．
作者简介吴崇试男江苏泰州人北京大学物理学院教授博士生导师一直从事理论物理的教学和科学研究工作
231
大学物理第卷
γ－1－nαβ－γ－n
．．－nz1－zF－n－n－nz6d
数等的应用为节省篇幅这里只列出最后结果γnαβγ
就能得出
－1αβ
λnnn
Fzz·
αβγλ∑
n0γn
z1
Fnnnz＜7
αβγ
1－z1－λ
1－λzαβ－γ
Fz
1－zαβγλ
∞nn
－－
－1γαγβz
λnn
∑n1－z·
Fnz＜8
∞1－γ
γ－1nn
Fz1－·
λαβγλ∑λ
F－nz1－＜19
αβγλ
1－λzαβ－γ∞1－γ
γ－1Fzn·
λ1－zαβγλ∑n
1－λn
F－n－n－nz1－＜110
1－zαβγλ
在得到以上各式的收敛条件时用到超几何函数的变
换公式
γ－α－β
Fz1－zF－－z
αβγγαγβγ
以及超几何函数αβγ在γ大时的渐近展开
N
αkβkk－N－1
FzzO
αβγ∑γ
k
k0γk
因此当足够大时有
2z1z＜11－．
－－n
γαβ
F±
n±
npmnz～1－z
k≡1－λ＜1．虚线内为单位圆内区域z＜1
nz～1
对于以下出现的各个级数也可以类似地确定它们
2
应用于超几何函数．．
的收敛条件但由于篇幅限制不再一一讨论
对于超几何函数3
应用于连带勒让德函数
1αnβnn
Fzzz＜15
αβγ∑连带勒让德函数的定义为
1z1μ21－z
μ－11－
利用超几何函数的微商递推关系Pνzz－1Fννμ2
Γ1－μ
dFzαβ
αβγnn
Fnnnz6am
nαβγ特别当μ为自然数时
dzγn
dmPz
m2m2ν
dnαβ－γPνzz－1m
〔1－zFz〕dz
nαβγ
dz
1m1
Γν2m2
z－1·
γαnγβnαβ－γ－nm－m1
1－zFnz6b2mΓν
γn
1－z
dn〔zγ－1Fz〕Fm－νmν1m12
－m1
－mΓνm
nγ－1－nPνzPνz
－11－zF－nz6c
γnαβγm1
Γν
dnγ－1αβ－γ1z－1m21－z
〔z1－zFz〕
αβγF－1m1
νν
nz12
dzm
23
第期吴崇试泰勒展开公式的新认识②
－1x1γ－1αβ－γ
而对于处于割线≤≤上的连带勒让德函数1－λz1λz1－λz
F
11xμ21－x1－z1zαβγ2
PxFννμn
ν1－x2∞n
Г1－μ1－－1
γnλ2z
m∑n1－z2·
dPxn0
mm2m2ν
Px－1－x
νdxm1－z
F－n－n－n18
m1－xαβγ2
1－xFm－m1m1
m
2m－m12然后再代入特定的αβγ值仿照上面的做法也能
得到
要得到连带勒让德函数的倍乘公式可以将前
－1
710z1－z2λn2－n2n
面式式中的换成并代入特Pzzz－1Pz
νλ∑ν
定的αβγ值从而导出
∞nn2z1
－1z－1＜19
P1－λλz∑Pz1z1－λ
νn0nz1ν
λ2z2－1－m2∞n
mλn2－n2
z－11Pzzz－1·
＜11z2－1νλ∑n
z1λ－1n0
m2mnz1
－m2z1mPνz＜20
λP1－λλz1z1－λ
2－λλzν
∞nn21－λn2－n2n
－1z－1z－11Pxx1－xPx
λmnνλ∑ν
∑nz1Pνzz1＜λ－1n0n
1x1
12＜＜21
21x1－λ
∞n1－xn2
λn22－m2∞n
P1－λλxPx1－λx－1
ν∑n1xνmλn2－n2
Pxx1－x·
n01－x2νλ∑n
λ－1－1
＜x＜113mn1x1
λ－11Px＜＜22
ν21x1－λ
－m21xm2m
λP1－λλx
2－λλxν5
柱函数与虚宗量柱函数
－1－1－1
λmnλ
∑PνxCz〔3〕
n0n1xλ－11将柱函数ν的递推关系
＜x＜1141dnνν－n
〔zCz〕zCz23a
1fzzdzνν－n
还可以有另一种做法即直接将式中的
1dn－n－n
f1－z2νν
换成从而有〔zCz〕－zCz23b
∞nnzdzννn
1－λz－λ－1n1－zn
f∑fz2〔2〕
2n0n22改写成
dn21n－n2
于是有〔C〕C23c
ζζζ－nζ
∞nndζn
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