泰勒展开公式的新认识特殊函数的倍乘公式与加法公式Word文档格式.docx

1、 有关特殊函数的倍乘公式与加法公式 在文献 随 值的变化 当 1 1 z 1 2 k 中有系统的收录 但仅限于合流超几何函数 作 时 收敛区域为半平面 随着 值增 2 3 k z 为文献 的继续 本文按照文献 中描述的方 大 收敛区域逐渐减小 当 时收缩为一点 0 k k 法 由泰勒展开公式导出倍乘公式与加法公式 并应 反之 随着 值的减小 收敛区域逐渐增大 当 50 0 用于超几何函数以及球函数 柱函数 得到大约 时则扩大到全平面 个公式 其中的绝大多数在现有的几本主要工具书 中都未能检得 1 倍乘公式的导出 如果在泰勒展开公式 n 1 d f z n f z z R 1 n n 0 n d

2、z 中取 z则得到泰勒展开公式的一种变型 n n 1 d f z n f z z 2 n 2 在一定意义上 可以把式 称为泰勒展开的倍乘 2 公式 文献 给出的泰勒展开特殊形式相当于式 2 0 的特殊情形 1 z ln 1 z 对于函数 与 不难写出它们的 n 2 阶导数 因此 由式 就得到 n 1 z z z 1 1 z n 1 1 z 1 z 1 n 0 3 1 z 1 z 1 1 图 收敛区域 随 的变化 n 1z 1 n z z 1 k 1 1 虚线内为单位圆内区域z 1 ln 1z n 1 1z 1z 1 4 1 2 3 4 图 和图 给出了级数 的收敛区域 2 下面给出式 对于超几

3、何函数及相关特殊函 20 11 05 09 20 11 09 06 收稿日期 修回日期 1938 作者简介 吴崇试 男 江苏泰州人 北京大学物理学院教授 博士生导师 一直从事理论物理的教学和科学研究工作 2 31 大 学 物 理 第 卷 1n n n z 1 z F nnnz 6 d 数等的应用 为节省篇幅 这里只列出最后结果 n 就能得出 1 n n n F z z n 0 n z 1 F n n nz 7 1 z 1 1 z F z 1 z n n 1 z n n n 1 z F nz 8 1 1 n n F z 1 F nz 1 1 9 1 z 1 1 F z n 1 z n 1 n F

4、 nnnz 1 1 10 1 z 在得到以上各式的收敛条件时用到超几何函数的变 换公式 F z 1 z F z 以及超几何函数 在 大时的渐近展开 N k k k N 1 F z z O k k 0 k 因此 当 足够大时 有 2 z 1 z 1 1 n F n np mnz 1 z k 1 1 虚线内为单位圆内区域z 1 nz 1 对于以下出现的各个级数 也可以类似地确定它们 2 应用于超几何函数 的收敛条件 但由于篇幅限制 不再一一讨论 对于超几何函数 3 应用于连带勒让德函数 1 n n n F z z z 1 5 连带勒让德函数的定义为 1 z 1 2 1 z 11 利用超几何函数的微

5、商递推关系 P z z 1 F 2 1 d F z n n F nnnz 6 a m n 特别 当 为自然数 时 dz n dm P z m 2 m 2 dn P z z 1 m 1 z F z dz n dz 1 m 1 2 m 2 z 1 n n n m m 1 1 z F nz 6 b 2 m n 1 z dn z 1F z F m m 1m 12 m 1 m m n 1 n P z P z 1 1 z F nz 6 c n m 1 dn 1 1 z 1 m 2 1 z z 1 z F z F 1m 1 n z 1 2 dz m 2 3 第 期 吴崇试 泰勒展开公式的新认识 1 x 1

6、1 而对于处于割线 上的连带勒让德函数 1 z 1 z 1 z F 1 1 x 2 1 x 1 z 1 z 2 P x F n 1 x 2 n 1 1 1 n 2z m n 1 z2 d P x n 0 m m 2 m 2 P x 1 x dxm 1 z F n n n 18 m 1x 2 1x F m m 1m 1 m 2 m m 1 2 然后再代入特定的 值 仿照上面的做法也能 得到 要得到连带勒让德函数的倍乘公式 可以将前 1 7 10 z 1 z 2 n 2 n 2 n 面式 式 中的 换成 并代入特 P z z z 1 P z 定的 值 从而导出 n n 2 z 1 1 z 1 19

7、 P 1 z P z 1 z 1 n 0 n z 1 2z2 1 m 2 n m n 2 n 2 z 1 1 P z z z 1 11 z2 1 n z 1 1 n 0 m 2 m n z 1 m 2 z 1 m P z 20 P 1 z 1 z 1 2 z n n 2 1 n 2 n 2 n 1 z 1 z 1 1 P x x 1 x P x m n n z 1 P z z 1 1 n 0 n 1 x 1 12 21 2 1 x 1 n 1 x n 2 n 2 2 m 2 n P 1 x P x 1 x 1 n 1 x m n 2 n 2 P x x 1 x n 0 1 x2 n 1 1 x

8、 1 13 m n 1 x 1 1 1 P x 22 2 1 x 1 m 2 1 x m 2 m P 1 x 2 x 5 柱函数与虚宗量柱函数 1 1 1 m n P x C z 3 n 0 n 1 x 1 1 将柱函数 的递推关系 x 1 14 1 d n n z C z z C z 2 3a 1 f z z dz n 还可以有另一种做法 即直接将式 中的 1 d n n n f 1 z 2 换成 从而有 z C z z C z 2 3b n n z dz n 1 z 1 n 1 z n f f z 2 2 2 n 0 n 2 2 改写成 dn 2 1 n n 2 于是有 C C 2 3c n n n dn