对数与对数运算导学案Word下载.docx
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=1,则x=________;
若log3(2x-1)=0,则x=________.
解析 若log3
=1,则
=3,即2x-3=9,x=6;
若log3(2x-1)=0,则2x-1=1,即x=1.
答案 6 1
题型一 对数的定义
【例1】
(1)在对数式y=log(x-2)(4-x)中,实数x的取值范围是________;
(2)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
①54=625;
②log216=4;
③10-2=0.01;
④log
125=6.
(1)解析 由题意可知
解得2<
x<
4且x≠3.
答案 (2,3)∪(3,4)
(2)解 ①由54=625,得log5625=4.
②由log216=4,得24=16.
③由10-2=0.01,得lg0.01=-2.
④由log
125=6,得(
)6=125.
规律方法 指数式与对数式互化的思路
(1)指数式化为对数式:
将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式.
(2)对数式化为指数式:
将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式.
【训练1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)43=64;
(2)lna=b;
(3)
=n;
(4)lg1000=3.
解
(1)因为43=64,所以log464=3;
(2)因为lna=b,所以eb=a;
(3)因为
=n,所以log
n=m;
(4)因为lg1000=3,所以103=1000.
题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值
【例2】
(1)求下列各式的值.
①log981=________.②log0.41=________.③lne2=________.
(2)求下列各式中x的值.
①log64x=-
;
②logx8=6;
③lg100=x;
④-lne2=x.
(1)解析 ①设log981=x,所以9x=81=92,故x=2,即log981=2;
②设log0.41=x,所以0.4x=1=0.40,故x=0,即log0.41=0;
③设lne2=x,所以ex=e2,故x=2,即lne2=2.
答案 ①2 ②0 ③2
(2)解 ①由log64x=-
得x=64-
=43×
(-
)=4-2=
②由logx8=6,得x6=8,又x>
0,即x=8
=23×
=
③由lg100=x,得10x=100=102,即x=2;
④由-lne2=x,得lne2=-x,所以e-x=e2,
所以-x=2,即x=-2.
规律方法 对数式中求值的基本思想和方法
(1)基本思想.
在一定条件下求对数的值,或求对数式中参数字母的值,要注意利用方程思想求解.
(2)基本方法.
①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
②利用幂的运算性质和指数的性质计算.
【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.
(1)log2x=-
(2)logx25=2;
(3)log5x2=2.
解
(1)由log2x=-
,得2-
=x,
∴x=
.
(2)由logx25=2,得x2=25.
∵x>0,且x≠1,∴x=5.
(3)由log5x2=2,得x2=52,
∴x=±
5.∵52=25>0,(-5)2=25>0,
∴x=5或x=-5.
题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值
【例3】
(1)71-log75;
(2)100
(3)alogab·
logbc(a,b为不等于1的正数,c>
0).
解
(1)原式=7×
7-log75=
(2)原式=100
lg9×
100-lg2=10lg9×
=9×
(3)原式=(alogab)logbc=blogbc=c.
规律方法 对数恒等式alogaN=N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.
(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.
【训练3】
(1)设3log3(2x+1)=27,则x=________.
(2)若logπ(log3(lnx))=0,则x=________.
解析
(1)3log3(2x+1)=2x+1=27,解得x=13.
(2)由logπ(log3(lnx))=0可知log3(lnx)=1,所以lnx=3,解得x=e3.
答案
(1)13
(2)e3
课堂达标
1.有下列说法:
(1)只有正数有对数;
(2)任何一个指数式都可以化成对数式;
(3)以5为底25的对数等于±
2;
(4)3log3(-5)=-5成立.其中正确的个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
解析
(1)正确;
(2),(3),(4)不正确.
答案 B
2.使对数loga(-2a+1)有意义的a的取值范围为( )
A.a>
且a≠1B.0<
a<
C.a>
0且a≠1D.a<
解析 由题意知
解得0<
3.方程lg(2x-3)=1的解为________.
解析 由lg(2x-3)=1知2x-3=10,解得x=
答案
4.计算:
2log23+2log31-3log77+3ln1=________.
解析 原式=3+2×
0-3×
1+3×
0=0.
答案 0
5.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.
(1)2-3=
(2)
=b;
(3)lg
=-3;
(4)ln10=x.
解
(1)由2-3=
可得log2
(2)由
=b得log
b=a;
(3)由lg
=-3可得10-3=
(4)ln10=x可得ex=10.
课堂小结
1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即ab=N⇔logaN=b(a>0,且a≠1,N>0),据此可得两个常用恒等式:
(1)logaab=b;
(2)alogaN=N.
2.在关系式ax=N中,已知a和x求N的运算称为求幂运算,而如果已知a和N求x的运算就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算.
3.指数式与对数式的互化
基础过关
1.有以下四个结论:
①lg(lg10)=0;
②ln(lne)=0;
③若10=lgx,则x=10;
④若e=lnx,则x=e2.其中正确的是( )
A.①③B.②④
C.①②D.③④
解析 lg(lg10)=lg1=0,ln(lne)=ln1=0,故①②正确;
若10=lgx,则x=1010,故③错误;
若e=lnx,则x=ee,故④错误.
答案 C
2.logab=1成立的条件是( )
A.a=bB.a=b且b>
0,a≠1D.a>
0,a=b≠1
解析 由logab=1得a>
0,且a=b≠1.
答案 D
3.设a=log310,b=log37,则3a-b的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析 3a-b=3a÷
3b=3log310÷
3log37=10÷
7=
答案 A
4.若log(1-x)(1+x)2=1,则x=________.
解析 由题意知1-x=(1+x)2,
解得x=0或x=-3.
验证知,当x=0时,log(1-x)(1+x)2无意义,
故x=0时不合题意,应舍去.所以x=-3.
答案 -3
5.若log3(a+1)=1,则loga2+log2(a-1)=________.
解析 由log3(a+1)=1得a+1=3,即a=2,所以loga2+log2(a-1)=log22+log21=1+0=1.
答案 1
6.将下列指数式化成对数式,对数式化成指数式.
(1)35=243;
(2)2-5=
(3)log
81=-4;
(4)log2128=7.
解
(1)log3243=5;
(2)log2
=-5;
=81;
(4)27=128.
7.求下列各式中的x的值.
(1)logx27=
(2)log2x=-
(3)logx(3+2
)=-2;
(4)log5(log2x)=0;
(5)x=log27
解
(1)由logx27=
,得x
=27,∴x=27
=32=9.
(2)由log2x=-
(3)由logx(3+2
)=-2,得3+2
=x-2,
∴x=(3+2
)-
-1.
(4)由log5(log2x)=0,得log2x=1.∴x=21=2.
(5)由x=log27
,得27x=
,
即33x=3-2,
∴x=-
能力提升
8.对于a>
0且a≠1,下列说法正确的是( )
(1)若M=N,则logaM=logaN;
(2)若logaM=logaN,则M=N;
(3)若logaM2=logaN2,则M=N;
(4)若M=N,则logaM2=logaN2.
A.
(1)
(2)B.
(2)(3)(4)
C.
(2)D.
(2)(3)
解析
(1)中若M,N小于或等于0时,logaM=logaN不成立;
(2)正确;
(3)中M与N也可能互为相反数且不等于0;
(4)中当M=N=0时不正确.
9.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则
的值为( )
A.1B.-1
C.5D.
解析 由log3(log5a)=0得log5a=1,即a=5,同理b=5,故
=1.
10.方程3log2x=
的解是________.
解析 3log2x=3-3,∴log2x=-3,x=2-3=
11.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则
+
=________.
解析 设2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k,则a=2k-2,b=3k-3,a+b=6k,即4a=2k,27b=3k,所以108ab=6k,∴108ab=a+b,∴108=
答案 108
12.
(1)若f(10x)=x,求f(3)的值;
(2)计算23+log23+35-log39.
解
(1)令t=10x,则x=lgt,
∴f(t)=lgt,即f(x)=lgx,∴f(3)=lg3.
(2)23+log23+35-log39=23·
2log23+
3+
=24+27=51.
13.(选做题)若log2(log
(log2x))=log3(log
(log3y))=