密码学数学基础习题集.doc
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北京电子科技学院
《密码学数学基础》习题集
信息安全系密码教研室
2015年10月
目
录
第一章带余除法...................................................................................................3
一、整数的最大公因子及其表示..................................................................3
二、多项式的最大公因子及其表示..............................................................7
三、标准分解和最小公倍数..........................................................................9
四、其他类型题............................................................................................11
第二章
同余方程...............................................................................................12
一、同余性质（剩余系）............................................................................12
二、模幂运算................................................................................................14
三、模逆运算................................................................................................16
四、一次同余方程求解................................................................................18
第三章原根计算.................................................................................................26
一、阶、原根、指数....................................................................................26
二、阶的计算................................................................................................30
三、原根的计算............................................................................................32
四、综合........................................................................................................36
第四章二次剩余.................................................................................................38
第五讲
群...........................................................................................................49
一、群的概念................................................................................................49
二、循环群的生成元求解（可求原根）.........................................................49
三、子群及其陪集........................................................................................50
四、置换群上的计算....................................................................................53
五、群同态....................................................................................................54
第六章
环的性质...............................................................................................55
一、环的概念................................................................................................55
二、商环........................................................................................................57
第七章
域上计算...............................................................................................58
第一章带余除法
重点概念：
最大公因子、辗转相除法、标准分解式
重点内容：
用辗转相除法求解最大公因子及其表示。
一、整数的最大公因子及其表示
1.（288，392）＝
8
，
2.设a=1435,b=3371，计算（a,b）。
答：
3371=2?
1435+501
1435=2?
501+433
501=433+68
433=6?
68+25
68=2?
25+18
25=18+7
18=2?
7+4
7=4+3
4=3+1
3=3?
1
所以（1435,3371）=1
3.用辗转相除法求整数x，y，使得1387x-162y=（1387,162）。
答：
用辗转相除法，如下表计算：
x
-y
q
1387
1
0
162
0
1
8
91
1
-8
1
71
-1
9
1
20
2
-17
3
11
-7
60
1
9
9
-77
1
2
-16
137
4
1
73
-625
x=73，y=625,（1387,162）=1.
4.计算：
（27090,21672,11352）。
答：
（27090,21672,11352）=（4386,10320,11352）=（4386,1548,2580）
=（1290,1548,1032）=（258,516,1032）=（258,0,0）=258。
5.用辗转相除法计算以下数组的最大公因子。
（1）（1046,697）
（2）（20301044）
解：
（1）1046=1´697+349
697=1´349+348
349=1?
348+1
348=348?
1
因此（1046,697）=1
（2）
2030=1?
1044+986
1044=1?
986+58
986=17?
58
因此（20301044）=58
6.用辗转相除法计算以下数组的最大公因子
（1）（2104,2720,1046）
（2）（27090,21672,11352）
解：
（1）先求出（2104,2720）的公因子d1，再求（d1,1046）的公因子d2，d2即为最
终要求的公因子。
因此：
2720=1?
2104+616
2104=3?
616+256
616=2?
256+104
256=2?
104+48
104=2?
48+8
48=6?
8
因此（2104,2720）=8，再求（8,1046），
1046=130?
8+6，
，
8=1?
6+2
6=3?
2
因此（2104,2720,1046）=2
（2）先求出（27090,21672）的公因子d1，再求（d1,11352）的公因子d2，d2即为
最终要求的公因子。
因此：
27090=1?
21672+5418
21672=4?
5418
因此（27090,21672）=5418，再求（5418,11352），
11352=2?
5418+516
5418=10?
516+258
516=2?
258
因此（27090,21672,11352）=258
7.用辗转相除法求以下数组的最大公因子，并把它表示为这些数的整系数线性组
合。
（1）1387,162
（2）2046,1620
解：
（1）用列表法可求出（1387,162）的公因子及相应的系数组合，如表1所示：
表1求（1387,162）的公因子及相应系数
u
v
q
1387
1
0
162
91
71
20
11
9
2
0
1
-1
2
-7
9
-16
1
-8
9
-17
60
-77
137
8
1
1
3
1
1
4
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