北京交通大学第一学期《概率论》期中试题答案Word下载.docx
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得分
阅卷人
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本卷共十三大题,如有不对,请与监考老师调换试卷!
一.(满分6分)已知
,
,求
。
解:
由概率加法公式
由概率乘法公式
----2分
----4分
二.(满分8分)甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?
解以
表示事件“第
次投掷时投掷者才得6点”.事件
发生,表示在前
次甲或乙均未得6点,而在第
次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有
因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为
--------4分
同样,乙胜的概率为
.--------4分
三.(满分12分)
(1)已知随机变量
的概率密度为
求
的分布函数.
(2)已知随机变量
的分布函数为
另外有随机变量
试求
的分布律和分布函数.
解
(1)由于
当
时,分布函数
故所求分布函数为
———5分
(2)
分布律为
-11
——4分
分布函数为
———3分
四(满分10分)投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量
投掷总次数.
(1)求
和
的联合分布律及边缘分布律.
(2)求条件概率
解
(1)
的可能值是0,1,
的可能值是
(因
必定首次得正面,故
若
首次得正面是不可能的,故
必须首次得正面,故
当
必定首次得反面,故
综上,得
的分布律及边缘分布律如下:
1234…
00
…
1
000…
…1———6分
(2)
———4分
五(满分10分)一等边三角形
(如下图)的边长为1,在三角形内随机地取点
(意指随机点
在三角形
内均匀分布).
(1)写出随机变量
的概率密度.
(2)求点
的底边
的距离的分布密度.
解
(1)因三角形
的面积为
故
——3分
(2)点
到底边
的距离就是
因而求
到
的距离的分布函数,就是求
关于
的边缘分布函数,现在
从而
——4分
六(满分8分)设随机变量
具有概率密度
(1)求边缘概率密度
(2)求条件概率密度
解
(1)当
时,
时,
故边缘概率密度分别是
(2)条件概率密度:
七.(满分8分)设有随机变量
,它们都仅取
两个值.已知
(1)求
的联合分布密度.
(2)求
的方程
至少有一个实根的概率.
(3)求
解
(1)
的联合分布密度为
-11/62/6——4分
12/61/6
(2)方程
当且仅当在
时至少有一实根,因而所求的概率为
——2分
(3)方程
八.(满分6分)某图书馆一天的读者人数
任一读者借书的概率为
各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为
求
与
的联合分布律.
解读者借书人数的可能值为
=
九.(满分8分)将一颗骰子掷两次,考虑事件
“第一次掷得点数2或5”,
“两次点数之和至少为7”,求
并问事件
是否相互独立.
解将骰子掷一次共有6种等可能结果,故
设以
表示第
次掷出骰子的点数,则
因将骰子掷两次共有36个样本点,其中
有
共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故
----4分
以
记两次投掷的结果,则
共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故
今有
按定义
相互独立.----4分
十(满分10分)产品的某种性能指标的测量值X是随机变量,设X的概率密度为
测量误差Y~U(
),X,Y相互独立,求Z=X+Y的概率密度
并验证
解
(1)Y的概率密度为
故Z=X+Y的概率密度为
仅当
即
时上述积分的
x
x=z+ε
Oy
x=z+ε
图4
被积函数不等于零,参考图4,即得
[Ⅰ+Ⅱ]
其中Ⅰ=
Ⅱ=
于是
[Ⅰ+Ⅱ]=
——4分
十一.(满分6分)
----4分
----2分
十二(满分8分)
-----2分
-----4分