圆的有关概念和性质Word格式.docx
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ⓑ:
三角形的外心:
三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.
ⓒ:
三角形的内心:
和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心
2.与圆有关的角
(1)圆心角:
顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角:
顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
(3)圆心角与圆周角的关系:
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(4)圆内接四边形:
顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形.
圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角.
3.正多边形和圆
(1)通过等分圆画正多边形。
(等分圆心角;
懂得正三、六;
正四、八边形的特殊画法)
(2)外接于圆的正多边形的有关概念:
正多边形的中心、
半径、中心角、边心距;
(3)如图,正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB,∠B等
于正n边形内角的一半,∠BOP=
,BP等于正多边形的边长的一半。
一般地,关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。
(“转化”是解决问题的一种重要的思想方法,化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知…如:
用“换元法”解方程、解方程中的‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等)
方法技巧:
1.分类讨论解决圆的问题,防止漏解。
如一条弦所对的圆周角有两种,所以同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等或互补。
圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。
2.圆中常作的辅助线:
作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。
二【课前练习】
1.如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠BAC=30°
则∠BOC的大小是()
A.60○B.45○C.30○D.15○
2.如图,MN所在的直线垂直平分弦AB,利用这样的工
具最少使用__________次,就可找到圆形工件的圆心.
3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案,点A、B、C、D、
E五等分圆,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是()
A.180°
B.150°
C.135°
D.120°
4.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上.如果∠P=50○,那么∠ACB等于()
A.40○B.50○C.65○D.130○
5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题:
“今有圆材,埋在壁冲,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何”.用数学语言可表述为如图,CD为⊙O的直径,弦
AB⊥CD于点E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长为()
A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸
6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=100°
,则∠DAB的度数为()
A.50°
B.80°
C.100°
D.130°
7.如图,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB=60○,AC=3,则△ABC的周长是____________.
8⊙O的半径是5,AB、CD为⊙O的两条弦,且AB∥CD,AB=6,CD=8,
求AB与CD之间的距离.
9(2007山东临沂)如图,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°
,四边形
ABCD的周长为10。
(1)求此圆的半径;
(2)求图中阴影部分的面积。
10.(2006年长春市)如图,AB为⊙O直径,BC切⊙O于B,CO交⊙O交于D,AD的延长线交BC于E,若∠C=25°
,求∠A的度数。
11.如图,在⊙O中,弦AC与BD交于E,
,求CD的长。
12.(06连云港)如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O与点E,连接BE、CE与AC交于点F。
(1)求证:
△ABE≌△CDE;
(2)若AE=6,DE=9,求EF的长。
13.填写下表:
边数
内角
中心角
半径
边长
边心距
周长
面积
n
a
an
Rn
rn
Pn
Sn
3
4
16
6
2
三:
【课后训练】
1.(2007福建福州)如图2,
中,弦
的长为
cm,圆心
到
的距离为4cm,则
的半径长为()
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
2(2007四川成都)如图,⊙
内切于
,切点分别为
.
已知
,
,连结
那么
等于( )
A.
B.
C.
D.
3(07淄博)如图1,已知:
△ABC是⊙O的内接三角形,
AD⊥BC于D点,且AC=5,DC=3,AB=
,则⊙O的直径等于。
4(2007重庆市)已知,如图2:
AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=450。
给出以下五个结论:
①∠EBC=22.50,;
②BD=DC;
③AE=2EC;
④劣弧
是劣弧
的2倍;
⑤AE=BC。
其中正确结论的序号是。
5(2007山东枣庄)如图3,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°
,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,则BC=。
6(2007四川成都)如图4,已知
是
的直径,弦
,那么
的值是.
7.如图,在⊙O中,弦AB=1.8。
m,圆周角∠ACB=30○,则⊙O的直径等于_________cm.
8.如图,⊙O内接四边形ABCD中,AB=CD,则图中和∠1相等的角有______
9.(2006年贵阳市)如她4,B是线段AC上的一点,且
,分别以AB、AC为直径画圆,则小圆的面积与大圆的面积之比为;
10.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,根据图所表示的情形,四个工件哪一个肯定是半圆环形()
11.(2006年苏州市)如图①,△ABC内接于⊙0,且∠ABC=∠C,点D在弧BC上运动.过点D作DE∥BC.DE交直线AB于点E,连结BD.
(1)求证:
∠ADB=∠E;
(2)求证:
AD2=AC·
AE;
(3)当点D运动到什么位置时,
△DBE∽△ADE请你利用图②
进行探索和证明
第二节点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系:
2.直线和圆的位置关系:
切线长定理:
过圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
3.圆与圆的位置关系
(1)同一平面内两圆的位置关系:
①相离:
没有公共点;
②相切:
只有一个公共点;
③相交:
有两个公共点;
④同心圆。
(2)圆心距:
两圆圆心的距离叫圆心距.
(3)
(注意:
两圆内含时,如果d为0,则两圆为同心圆)
4.切线的性质和判定
(1)切线的定义:
直线和圆有唯一公共点时,这条直线叫做圆的切线.
(2)切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径.
(3)切线的判定:
①d=r
直线与圆相切(r为圆的半径,d为圆心到直线的距离;
当不知道直线与圆的公共点时用此判定方法)②经过半径的外端点,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(当知道直线经过半径的外端点时,只需证明垂直)
二【课前练习】
1.△ABC中,∠C=90°
,AC=3,CB=6,若以C为圆心,以r为半径作圆,那么:
⑴当直线AB与⊙C相离时,r的取值范围是____;
⑵当直线AB与⊙C相切时,r的取值范围是____;
⑶当直线AB与⊙C相交时,r的取值范围是____.
2.已知⊙O1和⊙O2相外切,且圆心距为10cm,若⊙O1的半径为3cm,则⊙O2的半径为cm.
3.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm,大圆的弦AB与小圆相切,那么AB=()
A.
B.2
C.3D.4
4.(2007山东临沂)如图,在△ABC中,AB=2,
AC=1,以AB为直径的圆与AC相切,与边BC
交于点D,则AD的长为()。
A
A、
B、
C、
D、
5.(2007重庆市)已知⊙O1的半径
为3cm,⊙O2的半径R为4cm,两圆的圆心距O1O2为1cm,则这两圆的位置关系是()C
(A)相交(B)内含(C)内切(D)外切
6.⊙O的半径是6,点O到直线a的距离为5,则直线a与⊙O的位置关系为().C
A.相离B.相切C.相交D.内含
7.两圆既不相交又不相切,半径分别为3和5,则两圆的圆心距d的取值范围是()
A.d>8B.0<d≤2C.2<d<8D.0≤d<2或d>8
8.Rt△ABC中,∠C=90°
,∠AC=3cm,BC=4cm,给出下列三个结论:
①以点C为圆心1.3cm长为半径的圆与AB相离;
②以点C为圆心,2.4cm长为半径的圆与AB相切;
③以点C为圆心,2.5cm长为半径的圆与AB相交.上述结论中正确的个数是()
A.0个B.l个C.2个D.3个
9.如图,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,PA=4,
OA=3,则cos∠APO的值为()
10.如图,已知PA,PB是⊙O的切线,A、B为切点,AC是
⊙O的直径,∠P=40°
,则∠BAC度数是()
A.70°
B.40°
C.50°
D.20°
11.如图,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,∠APB=90°
,OP=4,
求⊙O的半径.
12.如图,⊙O的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O于点B,
交y轴于点C
(1)求线段AB的长
(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式
13(2007浙江温州)如图,点P在
的直径BA的延长线上,AB=2PA,PC切⊙
于
点C,连结BC。
(1)求
的正弦值;
(2)若⊙
的半径r=2cm,求BC的长度。
三【课后训练】
1.在△ABC中,∠C=90°
,AC=3cm,BC=4cm,CM是中线,以C为圆心,以3cm长为半径画圆,则对A、B、C、M四点,在圆外的有__