高中数学选修21学案222椭圆的简单几何性质二Word下载.docx

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相交

两解

Δ>

相切

一解

Δ＝0

相离

无解

Δ<

知识点三　弦长公式

设直线方程为y＝kx＋m（k≠0），椭圆方程为

0）或

0），直线与椭圆的两个交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则|AB|＝

，

所以|AB|＝

＝

或|AB|＝

.

其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y（或x）后得到关于x（或y）的一元二次方程求得.

题型一　直线与椭圆的位置关系

例1　在椭圆

＝1上求一点P，使它到直线l：

3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.

解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝

x＋m，

代入

＝1，

并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，

Δ＝9m2－16（m2－7）＝0

⇒m2＝16⇒m＝±

4，

故两切线方程为y＝

x＋4和y＝

x－4，

显然y＝

x－4距l最近，

d＝

切点为P

反思与感悟　本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则

（1）直线与椭圆相交⇔Δ>

0；

（2）直线与椭圆相切⇔Δ＝0；

（3）直线与椭圆相离⇔Δ<

0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.

跟踪训练1　已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：

x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.

解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，

联立方程

得9y2－2ay＋a2－8＝0，

Δ＝4a2－36（a2－8）＝0，

解得a＝3或a＝－3，

∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，

最小距离为d＝

由

得

即P（－

）.

题型二　直线与椭圆的相交弦问题

例2　已知点P（4,2）是直线l被椭圆

＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程.

解　由题意可设直线l的方程为y－2＝k（x－4），

而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.

将直线方程代入椭圆方程有

（4k2＋1）x2－8k（4k－2）x＋4（4k－2）2－36＝0.

所以x1＋x2＝

＝8，所以k＝－

所以直线l的方程为y－2＝－

（x－4），

即x＋2y－8＝0.

反思与感悟　研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：

设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.

跟踪训练2　在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M（2,1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.

解　方法一　如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，

则点M（2,1）显然不可能为这条弦的中点.

故可设弦所在的直线方程为y＝k（x－2）＋1，

代入椭圆方程得x2＋4[k（x－2）＋1]2＝16，

即得（1＋4k2）x2－（16k2－8k）x＋16k2－16k－12＝0，

∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16（12k2＋4k＋3）>

0，

又x1＋x2＝

＝4，解得k＝－

，满足Δ>

0.

∴直线方程为x＋2y－4＝0.

方法二　设弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），

则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，

∵P（x1，y1），Q（x2，y2）在椭圆上，

故有x

＋4y

＝16，x

＝16，

两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）＝0，

∵点M（2,1）是PQ的中点，故x1≠x2，

两边同除（x1－x2）得，（x1＋x2）＋4（y1＋y2）

＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－

∴弦所在的直线方程为y－1＝－

（x－2），

即x＋2y－4＝0.

题型三　椭圆中的最值（或范围）问题

例3　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.

解　

（1）由

　得5x2＋2mx＋m2－1＝0，

因为直线与椭圆有公共点，

所以Δ＝4m2－20（m2－1）≥0，解得－

≤m≤

（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

由

（1）知：

5x2＋2mx＋m2－1＝0，

所以x1＋x2＝－

，x1x2＝

（m2－1），

所以当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.

反思与感悟　[解析]几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.

跟踪训练3　如图，点A是椭圆C：

0）的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，

·

＝9.

（1）若点P的坐标为（0,1），求椭圆C的标准方程；

（2）若点P的坐标为（0，t），求t的取值范围.

解　∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°

即△BAP是等腰直角三角形，|

|＝

|

|.

∵

＝9，

∴|

||

|cos45°

|2cos45°

|＝3.

（1）∵P（0,1），∴|

|＝1，|

|＝2，

即b＝2，且B（3,1）.

∵B在椭圆上，∴

＝1，得a2＝12，

∴椭圆C的标准方程为

＝1.

（2）由点P的坐标为（0，t）及点A位于x轴下方，得点A的坐标为（0，t－3），

∴t－3＝－b，即b＝3－t.

显然点B的坐标是（3，t），将它代入椭圆方程得：

＝1，解得a2＝

∵a2>

b2>

0，∴

（3－t）2>

∴

1，即

－1＝

∴所求t的取值范围是0<

t<

1.直线y＝x＋2与椭圆

＝1有两个公共点，则m的取值范围是（　　）

A.m>

1B.m>

1且m≠3

C.m>

3D.m>

0且m≠3

[答案]　B

[解析]　由

⇒（3＋m）x2＋4mx＋m＝0，

∴Δ>

0，∴m>

1或m<

又∵m>

0且m≠3，∴m>

1且m≠3.

2.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m（m>

0），则此椭圆的离心率为（　　）

A.

B.

C.

D.

[解析]　将方程化为标准形式

因为m>

0，所以a2＝

，b2＝

所以c2＝a2－b2＝

－

∴e＝

3.椭圆

＝1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则|y1－y2|的值为（　　）

[答案]　A

[解析]　易知△ABF2的内切圆的半径r＝

，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝

lr＝

×

2c×

|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝

4.椭圆x2＋4y2＝36的弦被A（4,2）平分，则此弦所在的直线方程为（　　）

A.x－2y＝0B.x＋2y－4＝0

C.2x＋3y－14＝0D.x＋2y－8＝0

[答案]　D

[解析]　设以A（4,2）为中点的椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），

∵A（4,2）为EF中点，

∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆x2＋4y2＝36中，

则①－②得（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）＝0，

∴8（x1－x2）＋16（y1－y2）＝0，

∴k＝

＝－

∴以A（4,2）为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y－2＝－

整理得，x＋2y－8＝0.

5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足

＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.

[答案]　0<

e<

[解析]　设M（x，y），∵

＝0，

∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径.

由题意知，椭圆上的点P总在圆外，所以|OP|>

c恒成立，

由椭圆性质知|OP|≥b，∴b>

c，∴a2>

2c2，

∴（

）2<

，∴0<

解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：

（1）设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）；

（2）联立直线与椭圆的方程；

（3）消元得到关于x或y的一元二次方程；

（4）利用根与系数的关系设而不求；

（5）把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·

x2或y1＋y2，y1·

y2，进而求解.