实变函数复习思考题.docx

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实变函数复习思考题

实变函数复习思考题

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题后的括号内.）

1.是实数全体，则是（　　　）.

A.可数；B.不可数；C.有限集；D.不可测集.

2.有限个可数集的并集是（　　　）.

A.可数；B.不可数；C.有限集；D.以上都不对.

3.若是有限集或可数集,是不可数集,则（　　　）.

A.是可数；B.是不可数；C.；D..

4.设是定义在上的实函数,则下列式子不成立的是（　　　）.

A.；B.；

C.；D..

5.设是中有理数全体,则在中的导集是（　　　）.

A.;B.;C.;D..

6.设是一列开集,,则一定是（　　　）.

A.开集;B.闭集;C.型集;D.开集，也是闭集.

7.设是一族开集,,则一定是（　　　）.

A.开集;B.闭集;C.型集;D.开集，也是闭集.

8.设是一族闭集,,则一定是（　　　）.

A.开集;B.闭集;C.型集;D.开集，也是闭集.

9.设是一列闭集,,则一定是（　　　）.

A.开集;B.闭集;C.型集;D.开集，也是闭集.

10.设是中有理数全体，则（　　　）.

A.0;B.;C.1;D.不存在.

11.关于Cantor集,下述说法不成立的是（　　　）.

A.无内点;B.中的点都为孤立点;C.中的点都为聚点;D.是闭集.

12.设是任一可测集,则（）．

A.是开集;B．是闭集;

C.,存在开集,使得;D．是型集或型集.

13.设是一列可测集合,且,则有（）.

A.;B.;

C.;D..

14.设是一列可测集合,且,,则有（）.

A.;B.;

C.;D..

15.设,,在上几乎处处收敛于.则（）.

A．在上处处收敛于;

B．在上依测度收敛于;

C.在上一致收敛于;

D.存在的子列,使得在上一致收敛于.

16.设是可测集上的可测函数,则对任意的实数,有（）．

A．是闭集;B．是开集;C.是零测集;D．以上都不对.

17.设是定义在上的实值函数.令,,则下述哪个说法不成立的是（　　　）

A．与都是定义上的非负函数;

B．,;

C.;

D．在上可测与都在上可测.

18.设是可测集上的几乎处处有限的可测函数,则下述命题中是（）错误的．

A．是可测函数;B．是可测函数;

C.若,则是可测的;D．若,则.

19.设在可测集上,.则（）.

A.,;B.,;

C.于;D..

20.设是可测集上的可测函数,则是（　　　）.

A.Lebesgue可积函数;B.在上几乎处处连续;

C.存在简单函数列使于;D..

21.设是可测集上的非负可测函数,则（）．

A．是上的连续函数;B．是上的勒贝格可积函数;

C.是上的简单函数;D．在上的积分确定.

22.设是可测集上的有界可测函数,则（）．

A．存在简单函数列使在上一致收敛于;B．是上的勒贝格可积函数;

C.是上的黎曼可积函数;D．在上的积分确定.

二、填空题:

1．设,则　.

2．设,则　.

3．　，　.

4．设是中任意一列集合,则，.

5．设,.则.

6．设是一列集合,令，则是一列互不相交的集合,且.

7．给出与之间的一一对应关系　.

8．设,,则称是的内点是指

.

9．设,,则称是的外点是指

.

10．设,,则称是的聚点是指

.

11．设,,则称是的孤立点是指

.

12．设,,则称是的界点是指

.

13．设,若,则称是开集.

14．设,若,则称是闭集.

15．设是中的全部有理点,则在内的,,.

16．设,求在内的,

.

17．设表示Cantor集,则完全集;内点;;.

18．设是度量空间,,,则是指

.

19．设,则的L外测度定义为:

其中.

20．设,则称是L可测的是指:

.

21．设,在上依测度收敛于.则存在的子列,使得在上收敛于.

22．中可测集的全体所成的集类是一代数.

23．设表示中的无理数构成的点集,则.

24．设是平面上单位正方形中坐标都是有理数的点组成的集合,则__________.

25．设是定义在可测集上的广义实值函数,则称在上是可测的是指:

.

26．函数是不可测函数,其中.

27．若的定义域可分解为有限个互不相交的可测集合,,且当时,,.则称是简单函数.

28．设⑴;⑵是上一列几乎处处有限的可测函数;⑶于,且于.则,,使得,而在上一致收敛于.

29．设是上有限的可测函数,则,存在闭子集,使在上是连续函数,且.

30．设是上的Riemann可积函数，是的不连续点全体，则_________.

31．函数在上的Riemann可积但不Lebesgue可积的.

32．设其中是Cantor集,则________.

33．设,,则;.

34．设.则在上可积的充要条件是与在上.

35．设.若在上可积,则.

36．若的定义域可分解为有限个互不相交的可测集合,,且当时,,.则在上的积分定义为.

37．设是可测集上的非负可测函数,则在上的积分定义为

.

38．设是可测集上的可测函数,若与中至少有一个是有限数,则在上的积分定义为.

三、判断题（判断下列命题正确与否,正确的在题前的括号内填“是”，错误的在题前的括号内填“否”）:

（）1.任何无限集合必有可数真子集.

（）2.可数个可数集合的并集是可数集.

（）3.设,若,则.

（）4.集合的对等关系是等价关系.

（）5.可数多个可测集合的交仍是可测集合.

（）6.可数多个可测集合的并仍是可测集合.

（）7.直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并.

（）8.平面上的开集可以表示为可数多个互不相交的左开右闭区间的并.

（）9.零测集上的任何函数均可测.

（）10.任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.

（）11.开集减闭集后的差集仍是开集.

（）12.闭集减开集后的差集仍是闭集.

（）13.设为的可测子集,,则是一定含有一个区间.

（）14.若为可测集,且,则一定是可数集或有限集.

（）15.若为的无界可测子集,则的测度必为.

（）16.设为可数集,为有限集.则为可数集.

（）17.若是有界可测集,则.

（）18.两个简单函数的代数和仍是简单函数.

（）19.两个简单函数的积仍是简单函数.

（）20.设为的可测子集,若,则.

（）21.实直线上至少含有一个内点的集的外测度一定大于零.

（）22.是有限集或可数集.

（）23.由直线上互不相交的开区间所成之集是可数集.

（）24.任何集合上的常量函数均可测.

（）25.若开集是开集的真子集,则.

（）26.设,是可测集上的可测函数,则也是上的可测函数.

（）27.任何集合上的连续函数一定是可测函数.

（）28.函数的几乎处处相等关系是等价关系.

（）29.设,是可测集上的可测函数,则也是上的可测函数.

（）30.在上可测在上可测.

（）31.若是可测集上的L可积函数,则是上的有界函数.

（）32.零测集上的任何函数都可积,其积分值为零.

（）33.设是可测集上的可积函数,于,则也是上的可积函数,且.

（）34.设,是可测集上的可积函数,则也是上的可积函数.

四、证明题:

1.证明:

⑴;⑵.

2.设是定义在上的实函数.则

⑴;

⑵;

⑶;

⑷.

3.证明:

由直线上某些互不相交的开区间作为集的元素,则至多是可数集.

4.证明:

若是有限集或可数集,是可数集,则是可数集.

5.证明闭包与开核之间的关系:

⑴;⑵.

6.证明:

每个闭集必是可数个开集的交集;每个开集必是可数个闭集的和集.

7.设是上的实值连续函数,则,是一开集,而总是一闭集.

8.证明:

为上的连续函数,集合与都是闭集.

9.证明:

集合可测的充要条件是对有.

10.设.若,存在开集,使得,且,则是可测集.

11.设,则存在型集,使得,且.

12.证明:

可数点集的外测度为零.

13.若,则可测.

14.设为可测集,证明:

.

15.设可测，，则对任意可测集，有.

16.设，为任一点集，则有.

17.若为任意二点集，且其中之一的外侧度有限，则有.

18.若,则有

.

19.设可测集，则上的单调函数是可测函数.

20.可测集上的任一连续函数是可测函数.

21.证明:

若可测,则,恒有开集及闭集,使,而,

.

22.设,若,存在闭集,使得,证明是可测集.

23.设与是上的可测函数,证明是可测集.

24.试证，黎曼函数

是上的可测函数.

25.设,是上几乎处处有限的可测函数,证明:

存在上的一列连续函数,使得于.

26.设,是上几乎处处有限的可测函数列,在上几乎处处收敛于几乎处处有限的函数,证明:

.

27.设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于,证明:

收敛于.

28.设是可测集.若,存在闭子集,使得在上是连续函数,且.则是上有限的可测函数.

29.设在上,而在上几乎处处成立,,则.

30.设,几乎处处有限的可测函数列和,,分别依测度收敛于和,证明:

.

31.设为可测集,为上的非负可测函数.若,.

32.设为可测集,为上的非负可测函数.若,则于.

33.设为上的可积函数，如果对任何有界可测函数都有，则

34.设为可测集,为上的非负可测函数.若,则于.

35.设为可测集,若在上积分确定,且于,则在上也积分确定且.

36.设为可测集上的非负简单函数，是的一列可测子集,满足且,即,则.

37.设为可测集,若在上可积,则也在上可积且

.

38.设为可测集，和都是上非负可测函数，和都是非负实数，则

.

39.设为可测集,在上可积.若是的两个互不相交的可测子集,则.

40.设为可测集,,则:

,使得对任何可测集,只要,就有,即对任何可测子集,有.

41.设为在上的非负可测函数列.若,则.

42.设,为有限的可测函数列.证明:

.

43.设是上的一个非负实函数,若,在上R可积且R反常积分收敛,则在上L可积且的.

44..求证:

45.若,,试证.

五、计算题：

1．设,,,求集列的上限集与下限集.

2.设问在上黎曼可积吗？

勒贝格可积吗？

若可积,则计算其积分值.

3..

4..

5..

6..

7.设,是定义在可测集上的可测函数,且于，若可积,则也可积,并由此计算这里

8..

9.计算，其中