考研数学三试题解析超详细版.docx
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考研数学三试题解析超详细版
2016年考研数学（三）真题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
（1）若
，则a=______，b=______.
（2）设函数f（u,v）由关系式f[xg（y）,y]=x+g（y）确定，其中函数g（y）可微，且g（y）0，则
.
（3）设
，则
.
（4）二次型
的秩为.
（5）设随机变量
服从参数为
的指数分布,则
_______.
（6）设总体
服从正态分布
总体
服从正态分布
和
分别是来自总体
和
的简单随机样本,则
.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号）
（7）函数
在下列哪个区间有界.
（A）（1,0）.（B）（0,1）.（C）（1,2）.（D）（2,3）.[]
（8）设f（x）在（,+）有定义，且
，
，则
（A）x=0必是g（x）的第一类间断点.（B）x=0必是g（x）的第二类间断点.
（C）x=0必是g（x）的连续点.
（D）g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关.[]
（9）设f（x）=|x（1x）|，则
（A）x=0是f（x）的极值点，但（0,0）不是曲线y=f（x）的拐点.
（B）x=0不是f（x）的极值点，但（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
（C）x=0是f（x）的极值点，且（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
（D）x=0不是f（x）的极值点，（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点.[]
（10）设有下列命题：
（1）若
收敛，则
收敛.
（2）若
收敛，则
收敛.
（3）若
，则
发散.
（4）若
收敛，则
，
都收敛.
则以上命题中正确的是
（A）
（1）
（2）.（B）
（2）（3）.（C）（3）（4）.（D）
（1）（4）.[]
（11）设
在[a,b]上连续，且
，则下列结论中错误的是
（A）至少存在一点
，使得
>f（a）.
（B）至少存在一点
，使得
>f（b）.
（C）至少存在一点
，使得
.
（D）至少存在一点
，使得
=0.[]
（12）设
阶矩阵
与
等价,则必有
（A）当
时,
.（B）当
时,
.
（C）当
时,
.（D）当
时,
.[]
（13）设
阶矩阵
的伴随矩阵
若
是非齐次线性方程组
的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组
的基础解系
（A）不存在.（B）仅含一个非零解向量.
（C）含有两个线性无关的解向量.（D）含有三个线性无关的解向量.[]
（14）设随机变量
服从正态分布
对给定的
数
满足
若
则
等于
（A）
.（B）
.（C）
.（D）
.[]
三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（15）（本题满分8分）
求
.
（16）（本题满分8分）
求
，其中D是由圆
和
所围成的
平面区域（如图）.
（17）（本题满分8分）
设f（x）,g（x）在[a,b]上连续，且满足
，x[a,b），
.
证明：
.
（18）（本题满分9分）
设某商品的需求函数为Q=1005P，其中价格P（0,20），Q为需求量.
（I）求需求量对价格的弹性
（
>0）；
（II）推导
（其中R为收益），并用弹性
说明价格在何围变化时，
降低价格反而使收益增加.
（19）（本题满分9分）
设级数
的和函数为S（x）.求：
（I）S（x）所满足的一阶微分方程；
（II）S（x）的表达式.
（20）（本题满分13分）
设
试讨论当
为何值时,
（Ⅰ）
不能由
线性表示;
（Ⅱ）
可由
唯一地线性表示,并求出表示式;
（Ⅲ）
可由
线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式.
（21）（本题满分13分）
设
阶矩阵
.
（Ⅰ）求
的特征值和特征向量;
（Ⅱ）求可逆矩阵
使得
为对角矩阵.
（22）（本题满分13分）
设
，
为两个随机事件,且
令
求
（Ⅰ）二维随机变量
的概率分布;
（Ⅱ）
与
的相关系数
;
（Ⅲ）
的概率分布.
（23）（本题满分13分）
设随机变量
的分布函数为
其中参数
.设
为来自总体
的简单随机样本,
（Ⅰ）当
时,求未知参数
的矩估计量;
（Ⅱ）当
时,求未知参数
的最大似然估计量;
（Ⅲ）当
时,求未知参数
的最大似然估计量.
2016年考研数学（三）真题解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
（1）若
，则a=
，b=
.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为
，且
，所以
，得a=1.极限化为
，得b=4.
因此，a=1，b=4.
【评注】一般地，已知
＝A，
（1）若g（x）0，则f（x）0；
（2）若f（x）0，且A0，则g（x）0.
（2）设函数f（u,v）由关系式f[xg（y）,y]=x+g（y）确定，其中函数g（y）可微，且g（y）0，
则
.
【分析】令u=xg（y），v=y，可得到f（u,v）的表达式，再求偏导数即可.
【详解】令u=xg（y），v=y，则f（u,v）=
，
所以，
，
.
（3）设
，则
.
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：
x1=t，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x1=t，
＝
.
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.
（4）二次型
的秩为2.
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解一】因为
于是二次型的矩阵为
由初等变换得
从而
即二次型的秩为2.
【详解二】因为
其中
.
所以二次型的秩为2.
（5）设随机变量
服从参数为
的指数分布,则
.
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于
的分布函数为
故
.
【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考查,属基本题型.
（6）设总体
服从正态分布
总体
服从正态分布
和
分别是来自总体
和
的简单随机样本,则
.
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
【详解】因为
故应填
.
【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号）
（7）函数
在下列哪个区间有界.
（A）（1,0）.（B）（0,1）.（C）（1,2）.（D）（2,3）.[A]
【分析】如f（x）在（a,b）连续，且极限
与
存在，则函数f（x）
在（a,b）有界.
【详解】当x0,1,2时，f（x）连续，而
，
，
，
，
，
所以，函数f（x）在（1,0）有界，故选（A）.
【评注】一般地，如函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f（x）在闭区间[a,b]上有界；如函数f（x）在开区间（a,b）连续，且极限
与
存在，则函数f（x）在开区间（a,b）有界.
（8）设f（x）在（,+）有定义，且
，
，则
（A）x=0必是g（x）的第一类间断点.（B）x=0必是g（x）的第二类间断点.
（C）x=0必是g（x）的连续点.
（D）g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关.[D]
【分析】考查极限
是否存在，如存在，是否等于g（0）即可，通过换元
，
可将极限
转化为
.
【详解】因为
=a（令
），又g（0）=0，所以，
当a=0时，
，即g（x）在点x=0处连续，当a0时，
，即x=0是g（x）的第一类间断点，因此，g（x）在点x=0处的连续性
与a的取值有关，故选（D）.
【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.
（9）设f（x）=|x（1x）|，则
（A）x=0是f（x）的极值点，但（0,0）不是曲线y=f（x）的拐点.
（B）x=0不是f（x）的极值点，但（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
（C）x=0是f（x）的极值点，且（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
（D）x=0不是f（x）的极值点，（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点.[C]
【分析】由于f（x）在x=0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，
考查f（x）在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.
【详解】设0<<1，当x（,0）（0,）时，f（x）>0，而f（0）=0，所以x=0是f（x）
的极小值点.
显然，x=0是f（x）的不可导点.当x（,0）时，f（x）=x（1x），
，
当x（0,）时，f（x）=x（1x），
，所以（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
故选（C）.
【评注】对于极值情况，也可考查f（x）在x=0的某空心邻域的一阶导数的符号来判断.
（10）设有下列命题：
（1）若
收敛，则
收敛.
（2）若
收敛，则
收敛.
（3）若
，则
发散.
（4）若
收敛，则
，
都收敛.
则以上命题中正确的是
（A）
（1）
（2）.（B）
（2）（3）.（C）（3）（4）.（D）
（1）（4）.[B]
【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.
【详解】
（1）是错误的，如令
，显然，
分散，而
收敛.
（2）是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.
（3）是正确的，因为由
可得到
不趋向于零（n），所以
发散.
（4）是错误的，如令
，显然，
，
都发散，而
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