《复变函数论》课程教学大纲Word文件下载.docx

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复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识；

使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高；

同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。

复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而提高做好中学数学教育工作的能力。

（三）理论教学的基本要求

《复变函数论》研究的主要对象是解析函数，通过本课程的学习，要求学生了解复函数的概念、性质和解析函数的特性；

理解解析函数的基本概念和基本理论（积分理论、级数理论、几何理论）；

掌握用复变函数论的基本方法解决问题的方法（复数的计算、判断复函数的可微性及解析性、复积分的计算、复函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求简单的共性映射等）；

巩固和加深理解微积分学的有关知识。

（四）教学学时分配数

章次

各章名称

总学时

学时分配

讲课

习题课

小计

一

复数与复变函数

8

7

1

二

解析函数

12

10

2

三

复变函数的积分

四

解析函数的幂级数表示法

五

解析函数的洛朗展式与孤立奇点

六

留数理论及其应用

七

共性映射

6

八

解析延拓

选讲

九

调和函数

（五）大纲内容

第一章复数与复变函数

1．教学目的

复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。

复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。

本章主要介绍复数和复变函数的基本概念，通过本章教学，使学生明确复变函数要研究的对象是解析函数，其理论基础是建立在复数域和复平面上。

2．教学基本要求

理解复数、区域、单连通区域、多连通区域、约当曲线、光滑（逐段光滑）曲线、无穷远点、扩充复平面等概念；

理解复数的性质，掌握复数的运算，理解复数的模和辐角的性质；

理解并掌握复变函数极限与连续性的概念与性质；

进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。

3．教学内容

§

1复数

2复平面上的点集

3复变函数

4复球面与无穷远点

4．教学重点和难点

重点是复变函数的概念、极限与连续性；

难点是无穷远点及无穷远点邻域。

5．学法指导

以自习为主，通过讲授1节习题课来加强学生对该章主要概念的理解。

6．作业

习题

（一）4、5、6、7、8、11、13、15、16、19、20；

习题

（二）3、4、5

7．小结

本章主要介绍复数与复变函数的基本概念，复数的概念和性质在中学数学中已学过，学生比较容易理解。

复变函数的极限理论与实函数的极限理论相似，但由于复变函数理论是建立在复数域或复平面上的，因此与实函数的理论又有所不同，学生在学习时应比较相同点和不同点，这样既对已经学过的知识进行总结复习，又能更快接受并理解新知识。

第二章解析函数

解析函数是本课程的主要研究对象，通过本章教学，使学生理解解析函数的概念和判定函数解析的充要条件，为后面学习解析函数的其他性质奠定基础，掌握简单的初等多值函数理论。

理解解析函数的定义、性质及其充分必要条件；

了解函数在一点解析与函数在一点可微的区别，熟练掌握利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法；

掌握指数函数、三角函数的定义和性质，注意与实指数函数、实三角函数的区别；

了解初等多值函数单值化方法（限制辐角或割破平面）；

熟练掌握解析函数在单叶性区域内由初值确定终值；

理解反三角函数、一般幂函数、一般指数函数的定义与计算。

1解析函数的概念与柯西-黎曼方程

2初等解析函数

3初等多值函数

重点是解析函数的定义，利用柯西-黎曼条件判别解析函数的方法；

难点是初等多值函数分出单值解析分支，由已给单值解析分支的初值计算终值。

以课堂讲授为主，精讲习题，再辅导答疑，尽快使学生理解和掌握本章的基本概念、基本理论和基本方法。

习题

（一）2—9、20、21、22、23、25、26；

习题

（二）8、9、10.

复变函数的微分法与实函数的相应概念和求导公式基本相同，解析函数是复变函数研究的主要对象，初等单值函数的解析性可从它们的可微性来判定，这是数学分析中相应初等函数在复数域中的自然推广。

在学习过程中要理解并掌握柯西-黎曼方程判定函数可微和解析的方法，注意不能把可微和解析混为一谈。

在复数域中研究多值函数具有特殊的意义，因为能看出多值函数的本质，本章另一主要内容是采用限制辅角或割破平面的方法，来分出根式函数与对数函数的单值解析分支。

对此，学生要充分理解逐步掌握，丰富数学知识面。

第三章复变函数的积分

复积分是研究解析函数的一个重要工具，通过本章教学，使学生逐步接触并掌握复变函数论的基本理论和基本方法，熟练掌握并会应用柯西积分定理和柯西积分公式，它们是复变函数论的基本定理和基本公式，为学习下一部分的内容奠定基础。

理解复积分的概念、性质，掌握复积分的计算方法；

理解柯西积分定理，熟练掌握利用柯西积分定理计算函数沿闭曲线的积分；

理解柯西积分定理的推广；

理解柯西积分公式、高阶导数公式，熟练掌握利用柯西积分公式、高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；

了解解析函数的无穷可微性；

了解柯西不等式与刘维尔定理，掌握其证明方法；

掌握利用摩勒拉定理判断解析函数的方法；

熟练掌握已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数的方法。

§

1复积分的概念及其简单性质

2柯西积分定理

3柯西积分公式及其推论

4解析函数与调和函数的关系

重点是柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式；

难点是柯西积分定理的推广。

以课堂讲授为主，精讲习题，然后补充讲一些典型习题，再辅导答疑，使学生领会到复变函数论的基本理论和基本方法。

习题

（一）1、2、5、6、8—12、15—18；

习题

（二）5、9、10、14、15.

柯西积分定理和柯西积分公式非常重要，它们是复变函数论的基本定理和基本公式，也是整个复变函数论的基础。

解析函数的充要条件揭示了解析函数与调和函数之间的联系。

学生应充分掌握。

第四章解析函数的幂级数表示法

级数也是研究解析函数的一个重要工具，通过本章教学，使学生理解并掌握把解析函数表示为幂级数的方法，并了解解析函数的其他性质。

了解复级数的基本概念；

掌握复变函数项级数的收敛、一致收敛、内闭一致收敛的定义及判别方法；

理解解析函数项级数的和函数的性质；

理解幂级数的敛散性；

理解收敛圆、收敛半径的概念；

了解幂级数和的解析性；

理解解析函数的幂级数表示；

熟练掌握一些初等函数的泰勒展式；

了解幂级数的和函数在收敛圆周上的奇点的存在性；

理解解析函数的零点孤立性、唯一性定理、最大模原理。

1复级数的基本性质

2幂级数

3解析函数的泰勒展式

4解析函数零点的孤立性及唯一性定理

重点是幂级数的收敛圆及收敛半径的求法，将函数在一点展成幂级数的方法；

难点是利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数。

习题

（一）4、5、7—14；

习题

（二）3、4、9、10.

幂级数是研究解析函数的重要工具之一。

泰勒定理给予解析函数以明确的解析表示式。

解析函数的唯一性定理是解析函数的重要特征。

学生在学习时应留心观察,认真体会,悉心揣摩,逐渐加深理解，逐步达到熟练掌握并会灵活应用。

第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点

本章讨论推广了的幂级数—洛朗级数，通过本章教学，使学生掌握以洛朗级数为工具研究的解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质，对复变函数的积分理论有进一步的了解。

2．教学基本要求

了解双边幂级数的有关概念；

了解洛朗定理，熟练掌握将解析函数分别在指定圆环和孤立奇点去心邻域内展成洛朗级数的方法；

了解洛朗级数与泰勒级数的关系；

理解孤立奇点的概念，掌握判断孤立奇点类型的方法；

了解解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质；

掌握解析函数在无穷远点的性质；

了解整函数与亚纯函数的概念。

1解析函数的洛朗展式

2解析函数的孤立奇点

3解析函数在无穷远点的性质

4整函数与亚纯函数的概念

重点是将函数展成洛朗级数，判别孤立奇点的类型，解析函数在其孤立奇点去心邻域内的性质；

难点是孤立奇点类别的识别，将函数在其孤立奇点去心邻域内展成罗朗级数。

以课堂讲授为主，精讲习题，然后补充讲一些典型习题，再辅导答疑，使学生掌握复变函数论级数理论的内容和方法。

习题

（一）1、2、4、8、9、10；

习题

（二）2、3、4、7、12、14、15、16.

上一章主要介绍了函数在解析点的邻域（圆）内，可以展成通常的幂级数，但在奇点的邻域内则不能，本章讨论在圆环内解析函数的级数展开（洛朗级数），函数既可以在孤立奇点去心邻域展成洛朗级数，反过来，以洛朗级数为工具可研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。

洛朗定理与泰勒定理有相似之处，泰勒定理是洛朗定理的特殊情形，学生在学习时应注意区别和联系。

第六章留数理论及其应用

本章是第三章柯西积分理论的继续，通过本章教学，使学生对周线积分的计算问题有进一步理解，对复变函数的积分理论进一步完善。

理解留数的定义，熟练掌握留数的求法；

理解留数定理，掌握利用柯西留数定理计算函数沿闭曲线的积分；

熟练掌握用留数定理计算实积分；

了解对数留数的概念；

理解辐角原理、儒歇定理，熟练掌握求解析函数在指定区域内的零点个数的方法。

1留数

2用留数定理计算实积分

3辐角原理及其应用

重点是留数的求法，用留数定理计算实积分，考察区域内解析函数零点分布状况；

难点是辐角原理、儒歇定理的证明。

以课堂讲授为主，精讲习题，然后补充讲一些典型习题，再辅导答疑，使学生掌握复变函数论积分理论的内容、方法、应用。

习题（