届高三理科数学五年高考三年模拟分类汇编45 解三角形Word文档下载推荐.docx
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选择题
填空题
★★★
2.正、余弦定理的应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
2017课标全国Ⅱ,17;
2017课标全国Ⅲ,17;
2017江苏,18;
2016课标全国Ⅲ,8;
2016山东,16;
2016浙江,16;
2015湖北,13
解答题
分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.
五年高考
考点一 正弦定理和余弦定理
1.（2017山东,9,5分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是（ ）
A.a=2bB.b=2a
C.A=2BD.B=2A
答案 A
2.（2016天津,3,5分）在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°
则AC=（ ）
A.1B.2C.3D.4
3.（2017浙江,14,5分）已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是 ,cos∠BDC= .
答案 ;
4.（2016课标全国Ⅱ,13,5分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b= .
答案
5.（2017天津,15,13分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>
b,a=5,c=6,sinB=.
（1）求b和sinA的值;
（2）求sin的值.
解析
（1）在△ABC中,因为a>
b,所以由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=.
由正弦定理=,得sinA==.
所以,b的值为,sinA的值为.
（2）由
（1）及a<
c,得cosA=,
所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1-2sin2A=-.
故sin=sin2Acos+cos2Asin=.
6.（2017北京,15,13分）在△ABC中,∠A=60°
c=a.
（1）求sinC的值;
（2）若a=7,求△ABC的面积.
解析
（1）在△ABC中,因为∠A=60°
c=a,
所以由正弦定理得sinC==×
=.
（2）因为a=7,所以c=×
7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b×
3×
解得b=8或b=-5（舍）.
所以△ABC的面积S=bcsinA=×
8×
=6.
教师用书专用（7—21）
7.（2013辽宁,6,5分）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>
b,则∠B=（ ）
A.B.C.D.
8.（2013天津,6,5分）在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=（ ）
答案 C
9.（2013湖南,3,5分）在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于（ ）
答案 D
10.（2015天津,13,5分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为 .
答案 8
11.（2015重庆,13,5分）在△ABC中,B=120°
AB=,A的角平分线AD=,则AC= .
12.（2015广东,11,5分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b= .
答案 1
13.（2015福建,12,4分）若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于 .
答案 7
14.（2014广东,12,5分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则= .
答案 2
15.（2014天津,12,5分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .
答案 -
16.（2014福建,12,4分）在△ABC中,A=60°
AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于 .
17.（2013安徽,12,5分）设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C= .
答案 π
18.（2013浙江,16,4分）在△ABC中,∠C=90°
M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC= .
19.（2014辽宁,17,12分）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>
c.已知·
=2,cosB=,b=3.求:
（1）a和c的值;
（2）cos（B-C）的值.
解析
（1）由·
=2得c·
acosB=2,
又cosB=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.
又b=3,所以a2+c2=9+2×
2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因a>
c,所以a=3,c=2.
（2）在△ABC中,sinB===,
由正弦定理,得sinC=sinB=×
因a=b>
c,所以C为锐角,
因此cosC===.
于是cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC
=×
+×
20.（2013山东,17,12分）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
（1）求a,c的值;
（2）求sin（A-B）的值.
解析
（1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得b2=（a+c）2-2ac（1+cosB）,
又b=2,a+c=6,cosB=,所以ac=9,解得a=3,c=3.
（2）在△ABC中,sinB==,
由正弦定理得sinA==.
因为a=c,所以A为锐角,所以cosA==.
因此sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=.
21.（2013重庆,20,12分）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.
（1）求C;
（2）设cosAcosB=,=,求tanα的值.
解析
（1）因为a2+b2+ab=c2,
由余弦定理有cosC===-,
故C=.
（2）由题意得
=,
因此（tanαsinA-cosA）（tanαsinB-cosB）=,tan2αsinAsinB-tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=,
tan2αsinAsinB-tanαsin（A+B）+cosAcosB=.①
因为C=,A+B=,所以sin（A+B）=,
因为cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB,即-sinAsinB=,解得sinAsinB=-=.
由①得tan2α-5tanα+4=0,
解得tanα=1或tanα=4.
考点二 正、余弦定理的应用
1.（2016课标全国Ⅲ,8,5分）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=（ ）
A.B.C.-D.-
2.（2017课标全国Ⅱ,17,12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin（A+C）=8sin2.
（1）求cosB;
（2）若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
解析 本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.
（1）由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4（1-cosB）.
上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,
解得cosB=1（舍去）,cosB=.
（2）由cosB=得sinB=,故S△ABC=acsinB=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac（1+cosB）=36-2×
×
=4.
所以b=2.
3.（2016浙江,16,14分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.
（1）证明:
A=2B;
（2）若△ABC的面积S=,求角A的大小.
解析
（1）由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,
故2sinAcosB=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB,
于是sinB=sin（A-B）.
又A,B∈（0,π）,故0<
A-B<
π,所以,B=π-（A-B）或B=A-B,
因此A=π（舍去）或A=2B,所以,A=2B.
（2）由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB,
因sinB≠0,得sinC=cosB.
又B,C∈（0,π）,所以C=±
B.
当B+C=时,A=;
当C-B=时,A=.
综上,A=或A=.
4.（2016山东,16,12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2（tanA+tanB）=+.
a+b=2c;
（2）求cosC的最小值.
解析
（1）证明:
由题意知2=+,
化简得2（sinAcosB+sinBcosA）=sinA+sinB,
即2sin（A+B）=sinA+sinB.
因为A+B+C=π,
所以sin（A+B）=sin（π-C）=sinC.
从而sinA+sinB=2sinC.由正弦定理得a+b=2c.
（2）由
（1）知c=,
所以cosC==
=-≥,
当且仅当a=b时,等号成立.故cosC的最小值为.
教师用书专用（5—16）
5.（2014江西,4,5分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=（a-b）2+6,C=,则△ABC的面积是（ ）
A.3B.
C.D.3
6.（2014重庆,10,5分）已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是（ ）
A.bc（b+c）>
8B.ab（a+b）>
16
C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24
7.（2015湖北,13,5分）如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°
的方向上,行驶600
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