高二数学曲线和方程教案 人教版Word下载.docx

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答：

（1）以方程的解为坐标的点都是直线上的点；

（2）直线上的点的坐标都是这个方程的解．

下面我们来进一步研究一般曲线（当然也包括直线）和方程间的关系．

二、讲授新知：

　　㈠曲线与方程的概念：

1．x-y=0能否表示第一、三象限的角平分线？

说明：

1）若（x0，y0）是方程x-y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上；

2）若点（x0，y0）是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即x0=y0，

那么它的坐标（x0，y0）是方程x-y=0的解；

因此，此方程可以表示第一、三象限的角平分线。

2．能否表示第一、三象限的角平分线？

1）若（x0，y0）是方程的解，即，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上；

2）若点（x0，y0）是这条直线上的任意一点，则x0≥0,y0≥0，而第一、三象限的角平分线的坐标可以小于0；

综上所述，以此方程的解为坐标的点都在第一、三象限的角平分线上，而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却不一定满足这条方程。

事实上，此方程表示的曲线是第一象限角平分线（包括原点），不能表示第一、三象限的角平分线．

3．x2-y2=0能否表示第一、三象限的角平分线？

x2-y2=0（x-y）（x+y）=0x-y=0或x+y=0，显然以这个方程的解为坐标的点分布在第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上。

也就是说，以方程x2-y2=0的解为坐标的点不是都在第一、三象限的角平分线上，而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却都是此方程的解．（作图）

4．结论

（引导学生）从上面的例子中，我们可以得到曲线与方程的关系：

在平面直角坐标系中，如果某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：

上的点的解

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（毫无例外）―――纯粹性

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；

这条曲线叫做方程的曲线（图形）。

（毫无遗漏）―――完备性

㈡巩固概念：

1）选择：

1.如果曲线上任一点的坐标都是方程的解，那么（C）

（A）曲线的方程是

（B）方程的曲线是

（C）曲线上的点都在方程表示的曲线上

（D）以方程的解为坐标的点都在曲线C上

2.已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列命题中正确的是（B）

（A）曲线上的点的坐标都适合方程

（B）不在曲线上的点的坐标必不适合

（C）凡坐标不适合方程的点都不在上

（D）曲线是满足条件的点的轨迹

2）判断：

1.过点P（2,0）的直线与轴平行，则直线的方程为.　（）

2.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹是直线.　　　　（）　

3.方程的曲线是到轴的距离为到轴距离的2倍的动点的轨迹　（）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

注意：

说这个方程是这条曲线的方程，或这条曲线是这个方程的曲线，一定要说明两点。

如：

方程、x2-y2=0不能表示第一、三象限的角平分线．

三、例题精讲：

例1.判断点M1（3，-4）、M2（-2，2）是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上．

解：

把点M1（3，-4）、M2（-2，2）的坐标分别代入方程x2+y2=25，可知（3，-4）是方程的解，所以点M1在曲线上；

（-2，2）不是方程的解，所以点M2不在C上．

练习：

已知方程

⑴判断，是否在此方程表示的曲线上.（P在，Q不在）

⑵若点在此方程表示的曲线上，求.（=2，=）

例2.证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程为x2+y2=25.

分析：

1.回忆圆的定义

2.证明已知条件下的圆的方程为x2+y2=25，要证明两方面的内容：

1）满足这个条件下的任意点的坐标都是这条方程的解；

2）以这个方程的解为坐标的点都满足这个条件

证明：

（1）设M（x0，y0）是圆上任意一点，由已知得：

即，即（x0，y0）是方程x2+y2=25的解。

（2）设（x0，y0）是方程x2+y2=25的解。

那么，两边开方取算术根，得　，即点M（x0，y0）到原点得距离等于5，点M（x0，y0）是这个

圆上的点．

综上所述，x2+y2=25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．

申1.在例2中若擦去右半圆，只剩下左半圆则其方程为　　　　　　.

例3.方程①

②分别表示什么曲线，为什么？

①表示一点A（1，－1）

②表示如图一直线与一射线

例4.方程表示的曲线是

四、课堂练习：

P69练习T1，2，3

五、小结：

本节课主要内容是曲线和方程的概念，注意理解其满足的两个条件―――纯粹性和完备性．

六、作业：

1.P72习题7.6　T1，2

2.每课一练

七、板书设计：

求曲线的方程

1.了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．

2.进一步理解曲线的方程和方程的曲线．

3.初步掌握求曲线方程的方法．

4.通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．

求曲线的方程．

启发引导法，讨论法．

教　　具：

幻灯．

1.提问：

什么是曲线的方程和方程的曲线．

2.引入：

1.坐标法和解析几何的意义：

由曲线的方程、方程的曲线的概念，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足方程用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质．

①坐标法：

把这种借助坐标系来研究几何问题的方法称为坐标法；

②解析几何：

用坐标法来研究几何图形一门科学称为解析几何，即用代数方法厂家几何问题的一门科学，充分体现了数形结合的思想．

2.解析几何的两大基本问题就是：

（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．

（2）通过方程，研究平面曲线的性质．

事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．

3.如何根据已知条件，求出曲线的方程．

例1.设、两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段的垂直平分线的方程．

首先由学生分析：

根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．

解法一：

易求线段的中点坐标为（1，3），

由斜率关系可求得的斜率为，于是有①

分析、引导：

上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？

或者说①就是直线的方程？

根据是什么，有证明吗？

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．

设是线段的垂直平分线上任意一点，则

即

将上式两边平方，整理得，这说明点的坐标是方程的解．

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

设点的坐标是方程①的任意一解，则即

到、的距离分别为

所以点在直线上．

综合

（1）、

（2），①是所求直线的方程．

注：

至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：

在证明

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设是线段的垂直平分线上任意一点，最后得到式子，如果去掉脚标，这不就是所求方程吗？

可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

解法二：

设是线段的垂直平分线上任意一点，也就是点属于集合，由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

，将上式两边平方，整理得．

果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；

至于第二条上边已证．

这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与方程对应的思想．因此是个好方法．

让我们用这个方法试解如下问题：

例2.点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程．

这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．

求解过程略．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系；

其次设曲线上任意一点；

然后写出表示曲线的点集；

再代入坐标；

最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标；

（2）写出适合条件的点的集合；

（3）用坐标表示条件，列出方程；

（4）化方程为最简形式；

（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；

如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．

上述五个步骤可简记为：

建系设点；

写出集合；

列方程；

化简；

修正．

下面再看一个问题：

例3.已知一条曲线在轴的上方，它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

设点是曲线上任意一点，轴，垂足是，那么点属于集合

由距离公式，点适合的条件可表示为

将上式移项后再两边平方，得

化简得

由题意，曲线在轴的上方，所以，虽然原点的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为，它是关于轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如上图所示．

四、练习巩固：

　　1.等腰三角形底边的两个端点为B（2,1），C（0，－3），则顶点中A的轨迹　　．

2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，若满足

其中，，则点的轨迹方程为　　　　　　．　　（）

3.在正三角形内有一动点，已知到三个顶点的距离分别为、、，且有2＝2＋2，求点轨迹方程．

　　分析、略解：

首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如下图所示．设、的坐标为，，则的坐标为，的坐标为．

根据条件2＝2＋2，代入坐标可得

化简得 

①

由于题目中要求点在三角形内，所以，在结合①式可进一步求出、的范围，最后曲线方程可表示为

（）

师生共同总结：

（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？

（2）如何求曲线的方程？

（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？

课本P72　T3，4，5

求曲线的方程的常用方法

1.熟悉求曲线方程的一般步骤．

2.能利用一般步骤熟练求出曲线的方程．

3.求曲线的交点．