高二数学曲线和方程教案 人教版Word下载.docx
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答:
(1)以方程的解为坐标的点都是直线上的点;
(2)直线上的点的坐标都是这个方程的解.
下面我们来进一步研究一般曲线(当然也包括直线)和方程间的关系.
二、讲授新知:
㈠曲线与方程的概念:
1.x-y=0能否表示第一、三象限的角平分线?
说明:
1)若(x0,y0)是方程x-y=0的解,即x0=y0,那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等,它一定在这条平分线上;
2)若点(x0,y0)是这条直线上的任意一点,则它到两坐标轴的距离相等,即x0=y0,
那么它的坐标(x0,y0)是方程x-y=0的解;
因此,此方程可以表示第一、三象限的角平分线。
2.能否表示第一、三象限的角平分线?
1)若(x0,y0)是方程的解,即,即x0=y0,那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等,它一定在这条平分线上;
2)若点(x0,y0)是这条直线上的任意一点,则x0≥0,y0≥0,而第一、三象限的角平分线的坐标可以小于0;
综上所述,以此方程的解为坐标的点都在第一、三象限的角平分线上,而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却不一定满足这条方程。
事实上,此方程表示的曲线是第一象限角平分线(包括原点),不能表示第一、三象限的角平分线.
3.x2-y2=0能否表示第一、三象限的角平分线?
x2-y2=0(x-y)(x+y)=0x-y=0或x+y=0,显然以这个方程的解为坐标的点分布在第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上。
也就是说,以方程x2-y2=0的解为坐标的点不是都在第一、三象限的角平分线上,而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却都是此方程的解.(作图)
4.结论
(引导学生)从上面的例子中,我们可以得到曲线与方程的关系:
在平面直角坐标系中,如果某曲线(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系:
上的点的解
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(毫无例外)―――纯粹性
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;
这条曲线叫做方程的曲线(图形)。
(毫无遗漏)―――完备性
㈡巩固概念:
1)选择:
1.如果曲线上任一点的坐标都是方程的解,那么(C)
(A)曲线的方程是
(B)方程的曲线是
(C)曲线上的点都在方程表示的曲线上
(D)以方程的解为坐标的点都在曲线C上
2.已知坐标满足方程的点都在曲线上,则下列命题中正确的是(B)
(A)曲线上的点的坐标都适合方程
(B)不在曲线上的点的坐标必不适合
(C)凡坐标不适合方程的点都不在上
(D)曲线是满足条件的点的轨迹
2)判断:
1.过点P(2,0)的直线与轴平行,则直线的方程为. ()
2.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹是直线. ()
3.方程的曲线是到轴的距离为到轴距离的2倍的动点的轨迹 ()
注意:
说这个方程是这条曲线的方程,或这条曲线是这个方程的曲线,一定要说明两点。
如:
方程、x2-y2=0不能表示第一、三象限的角平分线.
三、例题精讲:
例1.判断点M1(3,-4)、M2(-2,2)是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上.
解:
把点M1(3,-4)、M2(-2,2)的坐标分别代入方程x2+y2=25,可知(3,-4)是方程的解,所以点M1在曲线上;
(-2,2)不是方程的解,所以点M2不在C上.
练习:
已知方程
⑴判断,是否在此方程表示的曲线上.(P在,Q不在)
⑵若点在此方程表示的曲线上,求.(=2,=)
例2.证明圆心为坐标原点,半径等于5的圆的方程为x2+y2=25.
分析:
1.回忆圆的定义
2.证明已知条件下的圆的方程为x2+y2=25,要证明两方面的内容:
1)满足这个条件下的任意点的坐标都是这条方程的解;
2)以这个方程的解为坐标的点都满足这个条件
证明:
(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点,由已知得:
即,即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解。
(2)设(x0,y0)是方程x2+y2=25的解。
那么,两边开方取算术根,得 ,即点M(x0,y0)到原点得距离等于5,点M(x0,y0)是这个
圆上的点.
综上所述,x2+y2=25是圆心为坐标原点,半径等于5的圆的方程.
申1.在例2中若擦去右半圆,只剩下左半圆则其方程为 .
例3.方程①
②分别表示什么曲线,为什么?
①表示一点A(1,-1)
②表示如图一直线与一射线
例4.方程表示的曲线是
四、课堂练习:
P69练习T1,2,3
五、小结:
本节课主要内容是曲线和方程的概念,注意理解其满足的两个条件―――纯粹性和完备性.
六、作业:
1.P72习题7.6 T1,2
2.每课一练
七、板书设计:
求曲线的方程
1.了解坐标法和解析几何的意义,了解解析几何的基本问题.
2.进一步理解曲线的方程和方程的曲线.
3.初步掌握求曲线方程的方法.
4.通过本节内容的教学,培养学生分析问题和转化的能力.
求曲线的方程.
启发引导法,讨论法.
教 具:
幻灯.
1.提问:
什么是曲线的方程和方程的曲线.
2.引入:
1.坐标法和解析几何的意义:
由曲线的方程、方程的曲线的概念,利用这两个重要概念,就可以借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标所满足方程用方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.
①坐标法:
把这种借助坐标系来研究几何问题的方法称为坐标法;
②解析几何:
用坐标法来研究几何图形一门科学称为解析几何,即用代数方法厂家几何问题的一门科学,充分体现了数形结合的思想.
2.解析几何的两大基本问题就是:
(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程.
(2)通过方程,研究平面曲线的性质.
事实上,在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先研究如何求出曲线方程,再研究如何用方程研究曲线.本节课就初步研究曲线方程的求法.
3.如何根据已知条件,求出曲线的方程.
例1.设、两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段的垂直平分线的方程.
首先由学生分析:
根据直线方程的知识,运用点斜式即可解决.
解法一:
易求线段的中点坐标为(1,3),
由斜率关系可求得的斜率为,于是有①
分析、引导:
上述问题是我们早就学过的,用点斜式就可解决.可是,你们是否想过①恰好就是所求的吗?
或者说①就是直线的方程?
根据是什么,有证明吗?
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
设是线段的垂直平分线上任意一点,则
即
将上式两边平方,整理得,这说明点的坐标是方程的解.
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
设点的坐标是方程①的任意一解,则即
到、的距离分别为
所以点在直线上.
综合
(1)、
(2),①是所求直线的方程.
注:
至此,证明完毕.回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象:
在证明
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中,设是线段的垂直平分线上任意一点,最后得到式子,如果去掉脚标,这不就是所求方程吗?
可见,这个证明过程就表明一种求解过程,下面试试看:
解法二:
设是线段的垂直平分线上任意一点,也就是点属于集合,由两点间的距离公式,点所适合的条件可表示为
,将上式两边平方,整理得.
果然成功,当然也不要忘了证明,即验证两条是否都满足.显然,求解过程就说明第一条是正确的(从这一点看,解法二也比解法一优越一些);
至于第二条上边已证.
这样我们就有两种求解方程的方法,而且解法二不借助直线方程的理论,又非常自然,还体现了曲线方程定义中点集与方程对应的思想.因此是个好方法.
让我们用这个方法试解如下问题:
例2.点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程.
这是一个纯粹的几何问题,连坐标系都没有.所以首先要建立坐标系,显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴,建立直角坐标系.然后仿照例1中的解法进行求解.
求解过程略.
【概括总结】通过学生讨论,师生共同总结:
分析上面两个例题的求解过程,我们总结一下求解曲线方程的大体步骤:
首先应有坐标系;
其次设曲线上任意一点;
然后写出表示曲线的点集;
再代入坐标;
最后整理出方程,并证明或修正.说得更准确一点就是:
(1)建立适当的坐标系,用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标;
(2)写出适合条件的点的集合;
(3)用坐标表示条件,列出方程;
(4)化方程为最简形式;
(5)证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
一般情况下,求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解;
如果求解过程中的转化都是等价的,那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以,通常情况下证明可省略,不过特殊情况要说明.
上述五个步骤可简记为:
建系设点;
写出集合;
列方程;
化简;
修正.
下面再看一个问题:
例3.已知一条曲线在轴的上方,它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.
设点是曲线上任意一点,轴,垂足是,那么点属于集合
由距离公式,点适合的条件可表示为
将上式移项后再两边平方,得
化简得
由题意,曲线在轴的上方,所以,虽然原点的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应为,它是关于轴对称的抛物线,但不包括抛物线的顶点,如上图所示.
四、练习巩固:
1.等腰三角形底边的两个端点为B(2,1),C(0,-3),则顶点中A的轨迹 .
2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,,,若满足
其中,,则点的轨迹方程为 . ()
3.在正三角形内有一动点,已知到三个顶点的距离分别为、、,且有2=2+2,求点轨迹方程.
分析、略解:
首先应建立坐标系,以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴,这条边的垂直平分线为另一个轴,建立直角坐标系比较简单,如下图所示.设、的坐标为,,则的坐标为,的坐标为.
根据条件2=2+2,代入坐标可得
化简得
①
由于题目中要求点在三角形内,所以,在结合①式可进一步求出、的范围,最后曲线方程可表示为
()
师生共同总结:
(1)解析几何研究研究问题的方法是什么?
(2)如何求曲线的方程?
(3)请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用,哪步重要,哪步应注意什么?
课本P72 T3,4,5
求曲线的方程的常用方法
1.熟悉求曲线方程的一般步骤.
2.能利用一般步骤熟练求出曲线的方程.
3.求曲线的交点.