高二数学曲线和方程教案 人教版Word下载.docx

1、答：（1）以方程的解为坐标的点都是直线上的点；（2）直线上的点的坐标都是这个方程的解下面我们来进一步研究一般曲线（当然也包括直线）和方程间的关系二、讲授新知：曲线与方程的概念：1x-y=0能否表示第一、三象限的角平分线？说明： 1）若（x0，y0）是方程x-y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上；2）若点（x0，y0）是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0，y0）是方程x-y=0的解；因此，此方程可以表示第一、三象限的角平分线。2能否表示第一、三象限的角平分线？1）若（x0，y0）是方程的解，即，即x0

2、=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上；2）若点（x0，y0）是这条直线上的任意一点，则x00,y00，而第一、三象限的角平分线的坐标可以小于0；综上所述，以此方程的解为坐标的点都在第一、三象限的角平分线上，而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却不一定满足这条方程。事实上，此方程表示的曲线是第一象限角平分线（包括原点），不能表示第一、三象限的角平分线3x2-y2=0能否表示第一、三象限的角平分线？x2-y2=0（x-y）（x+y）=0x-y=0或x+y=0，显然以这个方程的解为坐标的点分布在第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上。也就是说，以方程x2-y2=

3、0的解为坐标的点不是都在第一、三象限的角平分线上，而第一、三象限的角平分线上的点的坐标却都是此方程的解（作图）4结论（引导学生）从上面的例子中，我们可以得到曲线与方程的关系：在平面直角坐标系中，如果某曲线（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：上的点的解（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（毫无例外）纯粹性（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。（毫无遗漏）完备性巩固概念：1）选择：1.如果曲线上任一点的坐标都是方程的解，那么（ C ）（A）曲线的方程是（B）方程的曲线是（C）曲线上的

4、点都在方程表示的曲线上（D）以方程的解为坐标的点都在曲线C上2.已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列命题中正确的是（B）（A）曲线上的点的坐标都适合方程（B）不在曲线上的点的坐标必不适合（C）凡坐标不适合方程的点都不在上（D）曲线是满足条件的点的轨迹2）判断：1.过点P（2,0）的直线与轴平行，则直线的方程为. （）2.到两坐标轴的距离相等的点的轨迹是直线. （）3.方程的曲线是到轴的距离为到轴距离的2倍的动点的轨迹 （）注意：说这个方程是这条曲线的方程，或这条曲线是这个方程的曲线，一定要说明两点。如：方程、x2-y2=0不能表示第一、三象限的角平分线三、例题精讲：例1.判断点M1（3，-4

5、）、M2（-2，2）是否在方程x2+y2=25所表示的曲线上解：把点M1（3，-4）、M2（-2，2）的坐标分别代入方程x2+y2=25，可知（3，-4）是方程的解，所以点M1在曲线上；（-2，2）不是方程的解，所以点M2不在C上练习：已知方程判断，是否在此方程表示的曲线上. （P在，Q不在）若点在此方程表示的曲线上，求. （=2，=）例2.证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程为x2+y2=25.分析：1.回忆圆的定义 2.证明已知条件下的圆的方程为x2+y2=25，要证明两方面的内容：1） 满足这个条件下的任意点的坐标都是这条方程的解；2） 以这个方程的解为坐标的点都满足这个条件证明：（

6、1）设M（x0，y0）是圆上任意一点，由已知得：即，即（x0，y0）是方程x2+ y2=25的解。（2）设（x0，y0）是方程x2+ y2=25的解。那么，两边开方取算术根，得 ，即点M（x0，y0）到原点得距离等于5，点M（x0，y0）是这个圆上的点综上所述，x2+ y2=25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程申1.在例2中若擦去右半圆，只剩下左半圆则其方程为.例3.方程分别表示什么曲线，为什么？表示一点A（1，1）表示如图一直线与一射线例4.方程表示的曲线是四、课堂练习： P69练习T1，2，3 五、小结：本节课主要内容是曲线和方程的概念，注意理解其满足的两个条件纯粹性和完备性六、作业

7、：1.P72习题7.6T1，22.每课一练七、板书设计：求曲线的方程1.了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题2.进一步理解曲线的方程和方程的曲线3.初步掌握求曲线方程的方法4.通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力求曲线的方程启发引导法，讨论法教具：幻灯1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线2.引入：1.坐标法和解析几何的意义：由曲线的方程、方程的曲线的概念，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标所满足方程用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质坐标法：把这种借助坐标系来研究几何问题

8、的方法称为坐标法；解析几何：用坐标法来研究几何图形一门科学称为解析几何，即用代数方法厂家几何问题的一门科学，充分体现了数形结合的思想2.解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程（2）通过方程，研究平面曲线的性质事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线本节课就初步研究曲线方程的求法3.如何根据已知条件，求出曲线的方程例1.设 、两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段的垂直平分线 的方程首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决解法一：易求线段 的中点坐标为（1，3），由斜率关系

9、可求得的斜率为，于是有 分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决可是，你们是否想过恰好就是所求的吗？或者说就是直线 的方程？根据是什么，有证明吗？（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解设 是线段 的垂直平分线上任意一点，则即将上式两边平方，整理得，这说明点 的坐标 是方程 的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点设点 的坐标 是方程的任意一解，则即到 、的距离分别为 所以点 在直线 上综合（1）、（2），是所求直线的方程注：至此，证明完毕回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设 是线段 的垂直平分线上任意一点，最后得到式子

10、，如果去掉脚标，这不就是所求方程 吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：解法二：设 是线段 的垂直平分线上任意一点，也就是点 属于集合，由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为 ，将上式两边平方，整理得果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与方程对应的思想因此是个好方法让我们用这个方法试解如下问题：例2.点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程这是一个纯

11、粹的几何问题，连坐标系都没有所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系然后仿照例1中的解法进行求解求解过程略【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正说得更准确一点就是：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如 表示曲线上任意一点 的坐标；（2）写出适合条件 的点 的集合；（3）用坐标表示条件 ，列出方程 ；（4）化方程 为最简形式；（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 一般情况下，

12、求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正下面再看一个问题：例3.已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一点到 点的距离减去它到轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程设点 是曲线上任意一点， 轴，垂足是 ，那么点 属于集合由距离公式，点 适合的条件可表示为将上式 移项后再两边平方，得化简得由题意，曲线在 轴的上方，所以，虽然原点 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为 ，它是关于

13、 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如上图所示四、练习巩固：1.等腰三角形底边的两个端点为B（2,1），C（0，3），则顶点中A的轨迹2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，若满足其中，则点的轨迹方程为（）3.在正三角形 内有一动点 ，已知 到三个顶点的距离分别为 、 、 ，且有222，求点 轨迹方程分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如下图所示设 、的坐标为，则 的坐标为， 的坐标为 根据条件 222，代入坐标可得化简得 由于题目中要求点 在三角形内，所以 ，在结合式可进一步求出 、的范围，最后曲线方程可表示为 （） 师生共同总结：（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？课本P72T3，4，5求曲线的方程的常用方法1.熟悉求曲线方程的一般步骤2.能利用一般步骤熟练求出曲线的方程3.求曲线的交点