96双曲线Word文档格式.docx
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对称性
对称轴：
坐标轴 对称中心：
原点
顶点
A1（－a,0），A2（a,0）
A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
y＝±
x
离心率
e＝
，e∈（1，＋∞），其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2（c>
a>
b>
知识拓展
巧设双曲线方程
（1）与双曲线
0）有共同渐近线的方程可表示为
＝t（t≠0）．
（2）过已知两个点的双曲线方程可设为
＋
＝1（mn<
0）．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）平面内到点F1（0,4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（ ×
）
（2）方程
＝1（mn>
0）表示焦点在x轴上的双曲线．（ ×
（3）双曲线方程
＝λ（m>
0，n>
0，λ≠0）的渐近线方程是
＝0，即
±
＝0.（ √ ）
（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于
.（ √ ）
（5）若双曲线
0）与
0）的离心率分别是e1，e2，则
＝1（此条件中两条双曲线称为共轭双曲线）．（ √ ）
题组二 教材改编
2．[P61T1]若双曲线
0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B．5
C.
D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为
＝0，即bx±
ay＝0，
∴2a＝
＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝
＝5，∴e＝
.
3．[P62A组T6]经过点A（3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案
＝1
解析 设双曲线的方程为
＝±
1（a>
0），
把点A（3，－1）代入，得a2＝8（舍负），
故所求方程为
＝1.
题组三 易错自纠
4．（2016·
全国Ⅰ）已知方程
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（－1,3）B．（－1，
）
C．（0,3）D．（0，
解析 ∵方程
＝1表示双曲线，
∴（m2＋n）·
（3m2－n）>
0，解得－m2<
n<
3m2，
由双曲线性质，知c2＝（m2＋n）＋（3m2－n）＝4m2（其中c是半焦距），∴焦距2c＝2×
2|m|＝4，解得|m|＝1，
∴－1<
3，故选A.
5．若双曲线
0）的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（ ）
B.
C.
D.
答案 D
解析 由条件知y＝－
x过点（3，－4），∴
＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝
.故选D.
6．已知双曲线过点（4，
），且渐近线方程为y＝±
x，则该双曲线的标准方程为_______．
－y2＝1
解析 由双曲线的渐近线方程为y＝±
x，可设该双曲线的标准方程为
－y2＝λ（λ≠0），已知该双曲线过点（4，
），所以
－（
）2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为
－y2＝1.
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹方程
典例（2018·
大连调研）已知圆C1：
（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：
（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．
答案 x2－
＝1（x≤－1）
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小），
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－
＝1（x≤－1）．
命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
典例根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）虚轴长为12，离心率为
；
（2）焦距为26，且经过点M（0,12）；
（3）经过两点P（－3,2
）和Q（－6
，－7）．
解
（1）设双曲线的标准方程为
＝1或
由题意知，2b＝12，e＝
＝
，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为
（2）∵双曲线经过点M（0,12），∴M（0,12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
（3）设双曲线方程为mx2－ny2＝1（mn>
∴
解得
命题点3 利用定义解决焦点三角形问题
典例已知F1，F2为双曲线C：
x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
解析 ∵由双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2
∴|PF1|＝2|PF2|＝4
则cos∠F1PF2＝
引申探究
1．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°
”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝
∴|PF1|·
|PF2|＝8，
|PF1|·
|PF2|·
sin60°
＝2
2．本例中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“
·
＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
∵
＝0，∴
⊥
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
|PF2|＝4，
|PF2|＝2.
思维升华
（1）利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·
|PF2|的联系．
（3）利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为
＝λ（λ≠0），再由条件求出λ的值即可．
跟踪训练
（1）（2018·
沈阳调研）设椭圆C1的离心率为
，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_________．
解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1（－5,0），F2（5，0），设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为
即
（2）（2016·
天津）已知双曲线
＝1（b>
0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
＝1B.
＝1D.
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±
x，圆的方程为x2＋y2＝4，
联立
或
即第一象限的交点为
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为
，故
＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为
＝1.故选D.
题型二 双曲线的几何性质
典例
（1）已知F1，F2是双曲线C：
0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°
，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A.
x±
y＝0B．x±
y＝0
C．x±
2y＝0D．2x±
解析 由题意，不妨设|PF1|>
|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>
a，所以有|PF2|<
|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°
所以（2a）2＝（2c）2＋（4a）2－2·
2c·
4acos30°
，得c＝
a，所以b＝
a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±
x＝±
x，即
y＝0.
山东）已知双曲线E：
＝1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是______．
答案 2
解析 由已知得|AB|＝
，|BC|＝2c，
∴2×
＝3×
2c.
又∵b2＝c2－a2，整理得2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2，得2
2－3
－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2.
思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线
0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±
满足关系式e2＝1＋k2.
跟踪训练（2016·
全国Ⅱ）已知F1，F2是双曲线E：
＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝
，则E的离心率为（ ）
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