天津市东丽区第一百中学学年高一上学期期中考试数学试题 解析版Word格式.docx
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A.若
B.若
C.若
D.若
6.若
的最小值为()
A.4B.5C.6D.8
7.“
”是“
”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8.已知偶函数
在
上是增函数,则下列关系是中成立的是()
9.函数
在区间
上单调递增,实数
的取值范围()
10.函数
为
上的减函数,则实数
二、填空题
11.已知函数
______.
12.计算
=______.
13.函数
是定义在
上的奇函数,且当
时,
=_____.
14.若
且
的最小值为_______.
15.已知
,若
,则实数
的取值范围是________.
16.已知函数
的定义域为
,求实数
的取值范围.
三、解答题
17.设全集
集合
(1)求
;
(2)若集合
,且
的取值范围;
(3)若集合
18.已知函数
是定义域为
的偶函数,且当
.
(1)求出函数
上的解析式;
(2)画出函数
的图象;
(3)根据图象,写出函数
的单调递减区间及值域.
19.已知关于
的不等式
(1)不等式
的解集为
的值;
(2)在
(1)的条件下,求不等式
的解集;
(3)解关于
20.已知定义在
上的函数
是奇函数.
(1)求实数
值;
(2)判断函数的单调性并加以证明;
(3)若对任意的
,不等式
恒成立,求实数
答案与解析
【答案】B
【解析】
【分析】
求出
后可求
【详解】
,故
故选:
B.
【点睛】本题考查集合的运算(交集和补集),此类属于基础题.
【答案】D
根据函数的定义可得D为正确的选项.
【详解】在A,B,C三个选项对应的图像上,均有一个
对应两个
的情况,而D符合函数的定义,
D.
【点睛】本题考查对函数定义的理解,注意函数定义中,从非空集合
到非空集合
的映射
满足
中的元素任意性和
中元素的唯一性,此问题属于基础题.
【答案】A
利用存在性命题否定的结构形式写出其否定即可.
【详解】命题
为存在性命题(特称命题),其否定为:
A.
【点睛】全称命题的一般形式是:
,
,其否定为
.存在性命题的一般形式是
对四个选项中的函数逐个判断可得正确的选项.
【详解】对于①中函数
,它是奇函数,且在
上是增函数,故①符合;
对于②中函数
,它是偶函数,故②不符合;
对于③中函数
,因
,故该函数是奇函数,
又该函数在
上是增函数,故③符合;
对于④中函数
,它在
上是减函数,故④不符合;
对于⑤中函数
,其定义域为
,定义域不关于原点对称,所以该函数不是奇函数,故⑤不符合.
【点睛】本题考查幂函数的性质,注意幂函数的单调性是由幂指数的正负决定的,当幂函数的幂指数是整数时,它的奇偶性决定了幂函数的奇偶性.
逐项证明或根据反例可得正确的选项.
【详解】对于A,若
,当
,故A错;
对于B,取
,故B错;
对于C,取
,但
,故C错;
对于D,因为
总成立,故当
,必有
成立,故D成立.
【点睛】本题考查不等式的性质,注意代数式变形时要等价变形才行,如不等式的两边同乘以一个代数式,需要考虑该代数式的符号,又如两个同向不等式可加,但不可相乘,这些问题都是基础题,也是易错题.
【答案】C
分析】
利用基本不等式可求函数的最小值.
因为
,所以
,由基本不等式可以得到
当且仅当
时等号成立,故
的最小值为6.
C.
【点睛】应用基本不等式求最值时,需遵循“一正二定三相等”,如果原代数式中没有积为定值或和为定值,则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【详解】由
可得
或
,所以若
,反之不成立,
是
的必要不充分条件
故选B
【点睛】命题:
若
则
是真命题,则
的充分条件,
的必要条件
先利用
为偶函数得到
,再根据
上是增函数可得
的大小,从而得到正确的选项.
【详解】因为
为偶函数,所以
上是增函数,
所以
即
【点睛】如果一个函数具有奇偶性,那么它的图像具有对称性,偶函数的图像关于轴对称,奇函数的图像关于原点对称,因此知道其一侧的图像、解析式、函数值或单调性,必定可以知晓另一侧的图像、解析式、函数值或单调性.
先求出二次函数图象的对称轴,根据单调性可得其满足的条件,从而得到实数
【详解】二次函数图象的对称轴为
,因为
上单调递增,
【点睛】本题考查含参数的二次函数在给定范围上的单调性,一般地,此类问题可根据开口方向和对称轴的位置来求参数的取值范围.
根据
的单调性可得其在各段上的单调性且在分段处有高低之分,从而可得实数
上的减函数,所以
为减函数,
上为减函数且
【点睛】本题考查分段函数的单调性,注意分段函数是单调函数,不仅要求各范围上的函数的单调性一致,而且要求分段的点也具有相应的高低分布.
【答案】21
的值.
故答案为:
21.
【点睛】本题考查分段函数的函数值的计算,注意根据自变量的值选择正确的解析式进行计算,此类问题属于基础题.
【答案】
根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】原式
故答案
:
【点睛】本题考查分数指数幂的运算,注意对
化简时注意
的奇偶性,一般地,当
为奇数时,
为偶数时
利用奇函数的性质可求
为奇函数,所以
【点睛】如果一个函数具有奇偶性,那么它的图像具有对称性,偶函数的图像关于
轴对称,奇函数的图像关于原点对称,因此知道其一侧的图像、解析式或函数值,必定可以知晓另一侧的图像、解析式或函数值.
由
展开后利用基本不等式可求
的最小值.
又
由基本不等式有
的最小值为
,就
分类讨论后可得实数
综上,有
【点睛】本题考查含参数的集合的包含关系,注意根据集合等式挖掘集合之间的包含关系,利用包含关系求参数的取值范围时,要优先讨论含参数的集合为空集的情形.
由题意,函数
,转化为
上恒成立,结合二次函数的图象与性质,即可求解.
【详解】由题意,函数
则满足
上恒成立,
当
时,不等式等价于
上恒成立;
时,则满足
,解得
所以实数
的取值范围是
【点睛】本题主要考查了函数的定义域的应用,以及二次函数的图象与性质的应用,其中解答中把函数的定义转化为不等式的恒成立,结合二次函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于基础题.
(1)
(2)
(3)
(1)求出集合
(2)求出
,根据
满足的不等式,从而可求实数
(3)根据
不等式,从而可求实数
的取值范围,注意端点可以重合.
(