高考数学数列与数学归纳法.docx

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高考数学数列与数学归纳法

第三章数列与数学归纳法

知识结构

高考能力要求

1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题．

3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

高考热点分析

纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．

从解题思想方法的规律着眼，主要有：

①方程思想的应用，利用公式列方程（组），例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；②函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③待定系数法、分类讨论等方法的应用．

高考复习建议

数列部分的复习分三个方面：

①重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．②掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法．

数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质．

3．1数列的概念

知识要点

1．数列的概念

数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f（n）．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第项．

2．数列的通项公式

一个数列{an}的与之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f（n）来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：

4．求数列的通项公式的其它方法

⑴公式法：

等差数列与等比数列采用首项与公差（公比）确定的方法．

⑵观察归纳法：

先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶递推关系法：

先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．

例题讲练

【例1】根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．

⑴－

，

，－

，

…；

⑵1，2，6，13，23，36，…；

⑶1，1，2，2，3，3，…．

【例2】已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．

⑴Sn＝3n－2

⑵Sn＝n2＋3n＋1

【例3】根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．

⑴a1＝1，an＝2an－1＋1（n≥2）

⑵a1＝1，an＝

（n≥2）

⑶a1＝1，an＝

（n≥2）

【例4】已知函数

＝2x－2－x，数列{an}满足

＝－2n，求数列{an}通项公式．

小结归纳

1．根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等．

2．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．

3．由递推公式求通项公式的常见形式有：

an＋1－an＝f（n），

＝f（n），an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．

基础训练题

一、选择题

1．某数列{an}的前四项为0，

，0，

，则以下各式：

①an＝

[1＋（－1）n]②an＝

③an＝

其中可作为{an}的通项公式的是（）

A．①B．①②

C．②③D．①②③

2．函数f（x）满足f（n＋1）＝

（n∈N*）且f

（1）＝2，则f（20）＝（）

A．95B．97C．105D．192

3．（2005年山东高考）{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于（）

A．667B．668

C．669D．670

4．已知数列{an}满足an·an－1＝an－1＋（－1）n（n≥2），且a1＝1，则

＝（）

A．

B．

C．

D．

5．已知数列

，3，

，…

，那么9是它的第几项（）

A．12B．13

C．14D．15

6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn＝

（21n－n2－5）（n＝1，2，…，12）．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）

A．5月，6月B．6月，7月

C．7月，8月D．8月，9月

二、填空题

7．已知an＝

（n∈N*），则数列{an}的最大项为第项．

8．已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg（Sn－1）＝n，（n∈N*），则数列{an}的通项公式为．

9．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝

（n≥1），且a4＝54，则a1的数值是．

10．已知数列{an}的前n项和Sn＝

，则数列{

}的前n项和Tn＝．

三、解答题

11．（2002·天律）已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an+1·an＝（an－1＋2）（an－2＋2），n＝3，4，5…，求a3．

12．（2005年山东高考）已知数列{an}的首项a1＝5．前n项和为Sn且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N*）．

（1）证明数列{an＋1}是等比数列；

（2）令f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f（x）在点x＝1处导数f1

（1）．

13．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝

（n∈N*），求该数列的通项公式．

提高训练题

14．已知an＝

（n∈N），试问：

数列{an}有没有最大项，如果有，求出最大项；如果没有，说明理由．

15．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋（－1）n，

n≥1．

（1）写出数列{an}的前3项a1，a2，a3；

（2）求数列{an}的通项公式．

3．2等差数列

知识要点

1．等差数列的定义：

－＝d（d为常数）．

2．等差数列的通项公式：

⑴an＝a1＋×d

⑵an＝am＋×d

3．等差数列的前n项和公式：

Sn＝＝．

4．等差中项：

如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝．

5．数列{an}是等差数列的两个充要条件是：

⑴数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q（p,q∈R）

⑵数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn

（a,b∈R）

6．等差数列{an}的两个重要性质：

⑴m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则．

⑵数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成

数列．

例题讲练

【例1】在等差数列{an}中，

（1）已知a15＝10，a45＝90，求a60；

（2）已知S12＝84，S20＝460，求S28；

（3）已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．

【例2】已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－

（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝

．

⑴求证：

数列{bn}是等差数列．

⑵求数列{an}的通项公式．

【例3】已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{

}前n项和。

求Tn．

【例4】美国某公司给员工加工资有两个方案：

一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：

⑴从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？

⑵如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？

⑶如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．

问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？

小结归纳

1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：

an＋1－an＝d（d是一个与n无关的常数）．

2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．

3．对等差数列{an}的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为－d的等差数列进行求和．

4．遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题．

基础训练题

一、选择题

1．已知数列{an}满足：

a1＝14，an＋1＝an－

（n∈N*），则使an·an＋2<0成立的n的值是（）

A．19B．20

C．21D．22

2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有（）

A．a1＋a101＞0B．a2＋a100＜0

C．a3＋a99＝0D．a51＝51

3．已知数列{an}，an＝－2n＋25，当Sn达到最大值时，n为（）

A．10B．11

C．12D．13

4．（2005年全国）如果a1、a2，…a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）

A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5

C．a1＋a8＞a4＋a5D．a1a8＝a4a5

5．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为（）

A．a8B．a9

C．a10D．a11

6．在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为（）

A．7B．8

C．9D．10

二、填空题

7．等差数列{an}中，a1＝1，公差为d，当a1a2＋a2a3取得最小值时，d＝．

8．（2003年·上海）在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝．

9．已知{

}为等差数列且a2＝

－1，a4＝

＋1，那么a10＝．

10．等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，且S6S8，结合下列命题：

⑴当n≤7时，Sn是递增的，当n>7时，Sn是递减的．

⑵S9一定小于S6．

⑶a7>0，a8<0．

⑷S13<0．

其中正确命题的序号是（把你认为正确的命题序号都填上）．

三、解答题

11．有两个等差数列{an}，{bn}，

，求

的值．

12．已知数列{an}前n项和Sn＝n2－9n．

（1）求证：

{an}为等差数列；

（2）求Sn的最小值及相应的n；

（3）记数列{

}的前n项和为Tn，求Tn表达式．

13．下表给出一个“等差数阵”．

4

7

（）

（）

（）

…

a1j

…

7

12

（）

（）

（）