高考数学数列与数学归纳法.docx

1、高考数学数列与数学归纳法第三章 数列与数学归纳法 知识结构高考能力要求1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式，并能解决简单的实际问题3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题高考热点分析纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解

2、析几何、组合数的综合应用问题是命题热点从解题思想方法的规律着眼，主要有： 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题； 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题； 待定系数法、分类讨论等方法的应用高考复习建议数列部分的复习分三个方面： 重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维

3、，全面灵活地运用数学思想方法数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质31 数列的概念知识要点 1数列的概念数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集1，2，3，n的函数f(n)数列的一般形式为a1，a2，an，简记为an，其中an是数列an的第 项2数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列

4、的通项公式3在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为： 4求数列的通项公式的其它方法 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式例题讲练【例1】 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式 ，； 1，2，6，13，23，36，； 1，1，2，2，3，3，【例2】 已知数列an的前n项和Sn，求通项 Sn3n2

5、 Snn23n1【例3】 根据下面数列an的首项和递推关系，探求其通项公式 a11，an2an11 (n2) a11，an (n2) a11，an (n2)【例4】 已知函数2x2x，数列an满足2n，求数列an通项公式小结归纳1根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等2由Sn求an时，用公式anSnSn1要注意n2这个条件，a1应由a1S1来确定，最后看二者能否统一3由递推公式求通项公式的常见形式有：an1anf(n)，f(n)，an1panq，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）基础训练题一、选择题1某数

6、列an的前四项为0，0，则以下各式： an1(1)n an an 其中可作为an的通项公式的是 （ ）A BC D2 函数f(x)满足f(n1)（nN*）且f(1)2，则f(20) （ ） A95 B97 C105 D1923 （2005年山东高考）an是首项a11，公差d3的等差数列，如果an2005，则序号n等于 （ ） A667 B668C669 D6704 已知数列an满足anan1an1(1)n(n2)，且a11，则 （ ） A B C D 5 已知数列，3，那么9是它的第几项 （ ） A12 B13C14 D156 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累积的需求量S

7、n（万件）近似地满足Sn（21nn25）（n1，2，12）按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 （ ） A5月，6月 B6月，7月C7月，8月 D8月，9月二、填空题7 已知an（nN*），则数列an的最大项为第 项8 已知数列an的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn1)n，(nN*)，则数列an的通项公式为 9 设数列an的前n项和为Sn，Sn(n1)，且a454，则a1的数值是 10已知数列an的前n项和Sn，则数列的前n项和Tn 三、解答题11（2002天律）已知an是由非负整数组成的数列，满足a10，a23，an+1an(an12)(an22)，n3，4，5，求a312(

8、2005年山东高考)已知数列an的首项a15前n项和为Sn且Sn12Snn5（nN*）(1) 证明数列an1是等比数列；(2) 令f (x)a1xa2x2anxn，求函数f (x)在点x1处导数f 1 (1)13已知数列an中，a11，an1(nN*)，求该数列的通项公式提高训练题14已知an(nN)，试问：数列an有没有最大项，如果有，求出最大项；如果没有，说明理由15已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an(1)n，n1(1)写出数列an的前3项a1，a2，a3；(2)求数列an的通项公式32 等差数列知识要点1等差数列的定义： d（d为常数）2等差数列的通项公式： ana1 d anam

9、 d3等差数列的前n项和公式： Sn 4等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b 5数列an是等差数列的两个充要条件是： 数列an的通项公式可写成anpnq(p, qR) 数列an的前n项和公式可写成Snan2bn (a, bR)6等差数列an的两个重要性质： m, n, p, qN*，若mnpq，则 数列an的前n项和为Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列例题讲练【例1】 在等差数列an中，(1)已知a1510，a4590，求a60；(2)已知S1284，S20460，求S28；(3)已知a610，S55，求a8和S8【例2】 已知数列an满足a12a，an2a（

10、n2）其中a是不为0的常数，令bn 求证：数列bn是等差数列 求数列an的通项公式【例3】 已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列前n项和。求Tn【例4】 美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元问： 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？小结归纳1欲证an为等差数列，最常见的做法是证明：an1and(d是一个

11、与n无关的常数)2a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁3对等差数列an的最后若干项的求和，可以把数列各项的顺序颠倒，看成公差为d的等差数列进行求和4遇到与等差数列有关的实际问题，须弄清是求项的问题还是求和的问题基础训练题 一、选择题1 已知数列an满足：a114，an1an（nN*），则使anan20成立的n的值是 （ ） A19 B20 C21 D222 已知等差数列an满足a1a2a3a1010，则有 （ ） Aa1a1010 Ba2a1000Ca3a990 Da51513 已知数列an，an2n25，当Sn达到最大值时，n为 （ ） A1

12、0 B11 C12 D134 (2005年全国)如果a1、a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差d0，则 （ ）Aa1a8a4a5 Ba1a8a4a5 Ca1a8a4a5 Da1a8a4a55 等差数列an的首项为70，公差为9，则这个数列中绝对值最小的一项为 （ ）Aa8 Ba9Ca10 Da116 在等差数列an中，S41，S84，则a17a18a19a20的值为 （ ） A7 B8 C9 D10 二、填空题7 等差数列an中，a11，公差为d，当a1a2a2a3取得最小值时，d 8 (2003年上海)在等差数列an中，a53，a62，则a4a5a10 9 已知为等差数列且a21，a41，那么a10 10等差数列an中，Sn是它的前n项和，且S6S8，结合下列命题： 当n7时，Sn是递增的，当n7时，Sn是递减的 S9一定小于S6 a70，a80 S130其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题序号都填上） 三、解答题11有两个等差数列an，bn，求的值12已知数列an前n项和Snn29n (1) 求证：an为等差数列； (2) 求S n的最小值及相应的n； (3) 记数列的前n项和为Tn，求Tn表达式13下表给出一个“等差数阵”47( )( )( )a1j712( )( )( )