精编高考数学理科考点过关习题第七章平面解析几何54和答案Word文档格式.docx

精编高考数学理科考点过关习题第七章平面解析几何54和答案Word文档格式.docx

《精编高考数学理科考点过关习题第七章平面解析几何54和答案Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《精编高考数学理科考点过关习题第七章平面解析几何54和答案Word文档格式.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

B.

C.

D.

答案　B

解析　焦点坐标为

，当斜率不存在时，弦长为2p＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k，所以方程为y＝k

，代入y2＝6x，得k2x2－（3k2＋6）x＋

k2＝0，设弦的两端点为（x1，y1），（x2，y2），x1＋x2＋p＝12，即

＋3＝12，k2＝1.∴k＝tanα＝±

1，结合x∈如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

B.

答案　A

解析　过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，则|AM|＝|AF|－1，|BN|＝|BF|－1.可知

，故选A.

10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4

，|DE|＝2

，则C的焦点到准线的距离为（　　）

A．2B．4C．6D．8

解析　不妨设C：

y2＝2px（p>

0），A（x1,2

），则x1＝

，由题意可知|OA|＝|OD|，得

2＋8＝

2＋5，解得p＝4.故选B.

11．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p>

0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（　　）

B.

C.

D．1

解析　设P（x，y），∵|PM|＝2|MF|，∴

＝2，

又F

，∴

∴kOM＝

，由题易知kOM最大时y>

0，

≤

，

当且仅当x＝p时取等号．

12．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．

答案　9

解析　设M（x0，y0），由抛物线方程知焦点F（1,0）．根据抛物线的定义得|MF|＝x0＋1＝10，∴x0＝9，即点M到y轴的距离为9.

13．设抛物线

（t为参数，p>

0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C

，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3

，则p的值为________．

答案　

解析　由已知得抛物线的方程为y2＝2px（p>

0），则|FC|＝3p，∴|AF|＝|AB|＝

p，则A（p，

p）（不妨设A在第一象限）．易证△EFC∽△EAB，所以

＝2，所以

，所以S△ACE＝

S△AFC＝

p×

p＝

p2＝3

，所以p＝

.

三、模拟小题

14．抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　）

A．（0，a）B．（a,0）C.

D.

解析　将y＝4ax2（a≠0）化为标准方程得x2＝

y（a≠0），所以焦点坐标为

，所以选C.

15．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是（8,7），则|PA|＋|PQ|的最小值为（　　）

A．7B．8C．9D．10

解析　抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.

∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝

－1＝10－1＝9.

当且仅当A、P、F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.故选C.

16．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：

y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝（　　）

A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20

解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为（1,0），准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝（x1＋x2＋…＋xn）＋n＝n＋10.故选A.

17．已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝（　　）

C．3D．2

解析　设l与x轴的交点为M，如图所示，过Q作QN⊥l，垂足为N，则△PQN∽△PFM，所以

，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝

，故|QF|＝|QN|＝

18．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y、圆x2＋（y－1）2＝1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则

的值为________．

答案　16

解析　如图所示，抛物线x2＝4y的焦点为F（0,1），直线3x－4y＋4＝0过点（0,1），由

得4y2－17y＋4＝0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1＋y2＝

，y1y2＝1，解得y1＝

，y2＝4，则

＝16.

一、高考大题

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：

x－y－2＝0，抛物线C：

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：

线段PQ的中点坐标为（2－p，－p）；

②求p的取值范围．

解　

（1）抛物线C：

0）的焦点为

由点

在直线l：

x－y－2＝0上，

得

－0－2＝0，即p＝4.

所以抛物线C的方程为y2＝8x.

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点M（x0，y0）．

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，

于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.

①证明：

由

消去x，得y2＋2py－2pb＝0.（*）

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，

从而Δ＝（2p）2－4×

（－2pb）>

0，化简得p＋2b>

0.

方程（*）的两根为y1,2＝－p±

，从而y0＝

＝－p.

因为M（x0，y0）在直线l上，所以x0＝2－p.

因此，线段PQ的中点坐标为（2－p，－p）．

②因为M（2－p，－p）在直线y＝－x＋b上，

所以－p＝－（2－p）＋b，即b＝2－2p.

由①知p＋2b>

0，于是p＋2（2－2p）>

所以p<

因此，p的取值范围是

2．已知抛物线C：

y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

解　由题设知F

.设l1：

y＝a，l2：

y＝b，则ab≠0，

且A

，B

，P

，Q

R

记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0.

（1）证明：

由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则

k1＝

＝－b＝k2.

所以AR∥FQ.

（2）设l与x轴的交点为D（x1,0），则S△ABF＝

|b－a|·

|FD|＝

|b－a|

，S△PQF＝

由题设可得2×

，所以x1＝0（舍去），或x1＝1.

设AB的中点为E（x，y）．

当AB与x轴不垂直时，

由kAB＝kDE可得

（x≠1）．

而

＝y，所以y2＝x－1（x≠1）．

当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.

二、模拟大题

3．已知抛物线C：

x2＝2py（p>

0）的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点，且以AB为直径的圆M与直线y＝－1相切于点N.

（1）求C的方程；

（2）若圆M与直线x＝－

相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．

解　

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝y1＋y2＋p.

又∵以AB为直径的圆M与直线y＝－1相切，

∴|AB|＝y1＋y2＋2，故p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.

（2）设直线l的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y并整理，得x2－4kx－4＝0.

∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，∴y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2

＝4k2＋2，

∴圆心M

的坐标为M（2k,2k2＋1）．

∵圆M与直线x＝－

相切于点Q，∴|MQ|＝|MN|，

∴

＝|2k2＋2|，解得k＝

此时直线l的方程为y＝

x＋1，即x－2y＋2＝0.

圆心M

，半径r＝

即圆M的方程为（x－1）2＋

2＝

4．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F（1,0），其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D.

点F在直线BD上；

（2）设

·

，求△BDK的内切圆M的方程．

解　

（1）证明：

由题可知K（－1,0），抛物线的方程为y2＝4x，

则可设直线l的方程为x＝my－1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，－y1），

得y2－4my＋4＝0，

∴Δ＝（－4m）2－4×

4≥0，得m2≥1，

∴y1＋y2＝4m，y1y2＝4，

则直线BD的方程为y－y2＝

（x－x2），即

y－y2＝

令y＝0，得x＝

＝1，∴点F（1,0），在直线BD上．

（2）由

（1）可知

∴x1＋x2＝（my1－1）＋（my2－1）＝4m2－2，

x1x2＝（my1－1）（my2－1）＝1.

又

＝（x1－1，y1），

＝（x2－1，y2）

故

＝（x1－1）（x2－1）＋y1y2

＝x1x2－（x1＋x2）＋5＝8－4m2，

则8－4m2＝

，∴m＝±

故直线l的方程为3x＋4y＋3＝0或3x－4y＋3＝0，

y2－y1＝±

＝±

故直线BD的方程为3x＋

y－3＝0或3x－

y－3＝0.

又KF为∠BKD的平分线，

故可设圆心M（t,0）（－1<

t<

1），

M（t,0）到直线l及BD的距离分别为

，得t＝

或t＝9（舍去），

故圆M的半径为r＝

∴圆M的方程为

2＋y2＝

5．如图，抛物线C：

0）的焦点为F（0,1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q.

（1）求抛物线C和圆Q的方程；

（2）过点F作直线l，与抛物线