1718版 第3章 第13课 一元二次不等式及其解法Word格式文档下载.docx

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或x>

x2}

{x|x≠x1}

R

ax2＋bx＋c<

{x|x1<

x<

∅

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）不等式ax2＋x－1>

0一定是一元二次不等式．（　　）

（2）不等式

≤0⇔（x－2）（x＋1）≤0.（　　）

（3）若不等式ax2＋bx＋c>

0的解集是（－∞，x1）∪（x2，＋∞），则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.（　　）

（4）不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<

0且Δ＝b2－4ac≤0.（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2．不等式

－3x＋4>

0的解集为________．（用区间表示）

（－4,1）　[由－x2－3x＋4>

0得x2＋3x－4<

0，解得－4<

1.]

3．（教材改编）若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．

（－1,1）　[令f（x）＝x2＋ax＋a2－1，由题意可知f（0）＝a2－1<

0，即－1<

a<

4．在R上定义运算：

＝ad－bc.若不等式

≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为__________．

　[原不等式等价于x（x－1）－（a－2）（a＋1）≥1，

即x2－x－1≥（a＋1）（a－2）对任意x恒成立，

x2－x－1＝

2－

≥－

，

所以－

≥a2－a－2，解得－

≤a≤

.]

5．（2017·

宿迁模拟）已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是

，则不等式x2－bx－a<

0的解集是________．

（2,3）　[由不等式ax2－bx－1≥0的解集为

可知，a<

0且－

，－

是方程ax2－bx－1＝0的两个实数根．

∴

解得

∴由x2－5x＋6<

0得2<

3.即不等式x2－bx－a<

0的解集为（2,3）．]

一元二次不等式的解法

　解下列不等式：

（1）3＋2x－x2≥0；

（2）x2－（a＋1）x＋a<

0.

[解]　

（1）原不等式化为x2－2x－3≤0，

即（x－3）（x＋1）≤0，

故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．

（2）原不等式可化为（x－a）（x－1）<

0，

当a>

1时，原不等式的解集为（1，a）；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a<

1时，原不等式的解集为（a,1）．

[迁移探究]　将

（2）中不等式改为ax2－（a＋1）x＋1<

0，求不等式的解集．

[解]　若a＝0，原不等式等价于－x＋1<

0，解得x>

1.

若a<

0，原不等式等价于

（x－1）>

解得x<

若a>

（x－1）<

①当a＝1时，

＝1，

（x－1）<

0无解；

②当a>

1时，

<

1，解

0得

<

1；

③当0<

>

0得1<

.

综上所述：

0时，解集为

；

当a＝0时，解集为{x|x>

1}；

当0<

1时，解集为

当a＝1时，解集为∅；

[规律方法]　1.解一元二次不等式的步骤：

（1）使一端为0且把二次项系数化为正数．

（2）先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法．

（3）写出不等式的解集．

2．解含参数的一元二次不等式的步骤：

（1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．

（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．

[变式训练1]　解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0（k∈R）.【导学号：

62172074】

[解]　①当k＝0时，不等式的解为x＞0.

②当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为

＜x＜

若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．

③当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，

即－1＜k＜0时，x＜

或x＞

若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；

若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1.

综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；

0＜k＜1时，不等式的解集为

k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；

当－1＜k＜0时，不等式的解集为

k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；

k＜－1时，不等式的解集为R.

一元二次不等式恒成立问题

角度1　形如f（x）≥0（x∈R）求参数的范围

　不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<

0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．

（－2,2]　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<

0，对一切x∈R恒成立，

当a≠2时，则有

即

∴－2<

2.

综上，可得实数a的取值范围是（－2,2]．]

角度2　形如f（x）≥0

求参数的范围

　设函数f（x）＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f（x）<

－m＋5恒成立，求m的取值范围.【导学号：

62172075】

[解]　要使f（x）<

－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m

2＋

m－6<

0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

法一：

令g（x）＝m

m－6，x∈[1,3]．

当m>

0时，g（x）在[1,3]上是增函数，

所以g（x）max＝g（3）⇒7m－6<

所以m<

，所以0<

m<

当m＝0时，－6<

0恒成立；

当m<

0时，g（x）在[1,3]上是减函数，

所以g（x）max＝g

（1）⇒m－6<

0，所以m<

6，所以m<

m的取值范围是

法二：

因为x2－x＋1＝

>

又因为m（x2－x＋1）－6<

因为函数y＝

＝

在[1,3]上的最小值为

，所以只需m<

即可．

所以m的取值范围是

角度3　形如f（x）≥0（参数m∈[a，b]）求x的范围

　对任意的k∈[－1,1]，函数f（x）＝x2＋（k－4）x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．

1或x>

3}　[x2＋（k－4）x＋4－2k>

0恒成立，

即g（k）＝（x－2）k＋（x2－4x＋4）>

在k∈[－1,1]时恒成立．

只需g（－1）>

0且g

（1）>

0，即

3.]

[规律方法]　1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．

[思想与方法]

1．不等式ax2＋bx＋c>

0对任意实数x恒成立⇔

或

不等式ax2＋bx＋c<

2．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a<

0时的情形转化为a>

0时的情形．

3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；

若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

[易错与防范]

1．对于不等式ax2＋bx＋c>

0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．

2．当Δ<

0时，ax2＋bx＋c>

0（a≠0）的解集为R还是∅，要注意区别．

3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．

4．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．

课时分层训练（十三）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．不等式－2x2＋x＋1>

0的解集为__________．

　[－2x2＋x＋1>

0，即2x2－x－1<

0，（2x＋1）（x－1）<

0，解得－

1，∴不等式－2x2＋x＋1>

0的解集为

2．若集合A＝

＝∅，则实数a的值的集合是________.

【导学号：

62172076】

{a|0≤a≤4}　[由题意知a＝0时，满足条件，

a≠0时，由

得0<

a≤4，所以0≤a≤4.]

3．已知关于x的不等式

0的解集是

，则实数a＝________.

－2　[不等式

0等价于（ax－1）（x＋1）<

0，由题意可知x＝－1及x＝－

是方程（ax－1）（x＋1）＝0的两个实数根，∴

＝－

，即a＝－2.]

4．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<

0（a>

0）的解集为（x1，x2），且x2－x1＝15，则a＝________.

　[由x2－2ax－8a2<

得（x＋2a）（x－4a）<

0，因a>

所以不等式的解集为（－2a,4a），

即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，

得4a－（－2a）＝15，解得a＝

5．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．

[－1,4]　[令f（x）＝x2－2x＋5，则f（x）＝（x－1）2＋4≥4，

由a2－3a≤4得－1≤a≤4.]

6．若不等式mx2＋2mx＋1>

0的解集为R，则m的取值范围是__________．

[0,1）　[①当m＝0时，1>

0显然成立；

②当m≠0时，由条件知

1，

由①②知0≤m<

7．（2016·

苏北四市摸底考试）已知函数f（x）＝－x2＋2x，则不等式f（log2x）<

f

（2）的解集为________．

（0,1）∪（4，＋∞）　[由f（log2x）<

f

（2）可得

－（log2x）2＋2log2x<

－4＋4，

∴log2x（2－log2x）<

∴log2x>

2或log2x<

∴x>

4或0<

即不等式f（log2x）2<

f

（2）的解集为（0,1）∪（4，＋∞）．]

8．（2017·

南京、盐城二模）已知函数f（x）＝

则不等式f（x）≥－1的解集是__________.【导学号：

62172077】

[－4,2]　[不等式f（x）≥－1⇔

解得－4≤x≤0或0<

x≤2，故不等式f（x）≥－1的解集是[－4,2]．]

9．已知一元二次不等式f（x）<

，则f（ex）>

0的解集为________．

－ln3}　[设－1和

是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，

∴a＝－

b＝－1×

∵一元二次不等式f（x）<

∴f（x）＝－

＝－x2－

x＋

∴f（x）>

0的解集为x∈

不等式f（ex）>

0可化为－1<

ex<

ln

∴x<

－ln3，

即f（ex）>

0的解集为{x|x<

－ln3}．]

10．已知函数f（x）＝－x2＋ax＋b2－b＋1（a∈R，b∈R），对任意